《数学通报》第2414号问题的推广

贵州省都匀一中 (558000)

夏开平

这是《数学通报》2018年第4期数学问题解答栏目中刊载的2414号问题，它形式优美，内涵丰富.细读安老师利用构造三次函数结合导数知识给出的证明，受益匪浅.深入探究发现，该问题可以做如下推广：

证明：由已知a,b,c>0，a+b+c=3，λ≥1.

由简单不等式3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2=32=9，得ab+bc+ca≤3.由(a-1)2b+(b-1)2c+(c-1)2a≥0展开并移项整理得a2b+b2c+c2a≥2(ab+bc+ca)-3.所以λ(a2+b2+c2)+(a2b+b2c+c2a)+(λ-1)(ab+bc+ca)-6λ≥λ(a2+b2+c2)+[2(ab+bc+ca)-3]+(λ-1)(ab+bc+ca)-6λ=λ(a+b+c)2+(1-λ)(ab+bc+ca)-3-6λ=9λ+(1-λ)(ab+bc+ca)-3-6λ=(1-λ)(ab+bc+ca)-3(1-λ)=(1-λ)(ab+bc+ca-3)≥0.所以(3)成立，(2)获证.

在不等式(2)中，取λ=1即可得《数学通报》数学问题2414.