简约而不简单——多视角探求一道二元函数最值题

江苏省通州高级中学 (226300)

严振君

一、题目呈现

乍看本题，给人以条件简单，目标清晰之感.教学中，经过与学生共同探究，感觉此题实则“简约而不简单”，可从多个视角切入，用不同方法探求，是一道颇具韵味的“好题”.现将本题的解法作一个梳理，与读者交流分享.

二、解法荟萃

视角一 等式减元 导数求解

评注：“减元”是求多元函数最值问题的常规处理策略.由于x，y均为正数，则可将条件中的等量关系化隐性为显性，将二元目标函数转化为一元函数.此法涉及到复合函数求导，对运算要求较高，但思路清晰，目标明确，易于接受.

视角二 三角换元 意在简化

视角三 “1”的代换 整体换元

视角四 引入新元 变量归一

评注：此法也称作“倍值换元”，即通过引入新元k，沟通旧元x和y的直接联系.结合条件等式，将原先变量x与y均化归为新元k，将二元目标函数一元化.

视角五 方程思想 彰显通法

视角六 数列向量 另辟蹊径

视角七 数形结合 形象直观

图1

评注：“数形结合”的思想启示我们要善于挖掘代数问题背后的几何特征.“以形助数”可以让问题的解决更为直观简捷，但又不失严谨.方法11从变换的视角，将目标函数线性化，原题得以“改头换面”，借助于线性规划的方法求解.

视角八 高数观点 高屋建瓴

评注：拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数最值的常用方法.尽管使用拉格朗日乘数法的条件较为苛刻，但操作并不复杂，学生易于接受，对于约束条件下求最值问题可以尝试.

视角九 待定系数 巧妙配凑

评注：观察本题的条件和目标，符合使用三元均值不等式的结构特征.用待定系数法可以突破“配凑”系数的难点，方便直接.

视角十 不等式法 自然天成

三、拓展延伸

限于篇幅，请读者自行尝试证明.

四、解后反思

在解题教学中，要引导学生善于从不同的视角审视题意，启发学生灵活地从问题的不同侧面、不同层次进行全方位的探讨，拓宽学生视野，发散学生思维.在一题多解的基础上，还需引导学生对多种解法进行对比分析，择优而从，达到弄透一题、旁通一类，举一反三、事半功倍的良好学习效果.善于从不同视角思考和解决问题，除了帮助学生完善知识结构外，还能起到活化思维，激发兴趣之功效.