利用投影法破解数量积最值问题

浙江省金华市第六中学 (321000)

张剑平

高中数学平面向量教学对投影的应用没有引起足够的重视，大部分教师在复习平面向量的数量积这一章节，只会轻描淡写的讲解投影的定义.向量作为代数与几何的纽带，素有数形结合的桥梁之美称，在中学数学具有广泛的应用，正由于其兼备“数”与“形”的双重身份，数量积具有丰富的背景内涵，加之解法灵活多样备受命题者青睐，问题设置由定向量的数量积到动向量数量积的最值或者取值范围，难度越来越大，解决的办法通常有：坐标法、基底法、构图法、极化恒等式等，如果我们从新的视觉——投影来思考，很多高难度的数量积问题将迎刃而解，下面举例说明如何利用投影法破解一类数量积问题，供读者参考.

一、平面向量的投影

人教A版教材必修4对投影作出如下定义：

图1

图2

二、应用举例

分析：如果用坐标法需要引入参数角，利用三角函数的性质求数量积的范围，如果从投影角度来思考，只要选好投影轴，很快可以解决问题.

图3

图4

A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1

C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2

分析：很多考生感觉无从下手，有考生尝试建立坐标系，求相关的直线方程，设点的坐标，进而利用数量积公式运算，到最后比较数量积的大小还是非常困难.如果能从投影角度来思考，选好投影轴，并取动点的特殊位置，问题将快速破解.

解：如图4，选OA3为投影轴，当P1与A1重合，P2与A2重合时，P3与A3重合时，假设正三角形的边长为2，根据投影的定义可求I1=6,I2=12,I3=10.故选B.

图5

=4sin2θ+8cos2θ+8=

分析：此题的常规解法是以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建系，设O(x,y),可求点O的轨迹方程为圆的方程，利用圆的一些几何性质和数量积的坐标公式，最终转化为函数的最大值问题.如果从投影角度出发，问题将转为一个平面几何问题，简答过程也将简化.

图6

分析：此题的常规解法仍然是以O为原点建系，设A(a,0),B(0,b),利用圆的参数方程设点C0(a+2cosθ,2sinθ),利用数量积公式把问题转化为关于a,cosθ二元函数的最值问题，仍然是个比较难的二元最值问题.如果从投影角度思考，结合几何意义将快速破解此题.

图7

三、结语

平面向量数量积是高考考查的重点内容之一，充分利用平面向量数量积的几何意义，利用投影法解决一类数量积最值问题，真正实现对数学知识的融会贯通，注重知识之间的相互联系，挖掘隐性知识，学会用不同的视角观察问题、分析问题、解决问题.教师在教学过程中引导学生对典型例题一题多解，深度挖掘，触类旁通，认识清楚问题的本质，可以使学生的解题思路更加开阔，提高解题速度，全面提高学生的知识水平、核心素养和思维品质.