例谈三角形中的最值问题解法途径

江苏省海门中学 (226100)

杨智慧

例题在ΔABC中，若sinC=2cosAcosB，求μ=cos2A+cos2B的最值.

在三角形背景下的最值问题解法途径：对约束条件的转化，以及对目标函数的变形处理，化归到易处理的目标函数.在三角形下两条路线可寻，一条为选取恰当的变量代数换元，利用导数、均值不等式等进行处理；另一条为保留角元，利用三角恒等变换公式重构约束条件与目标函数，化为三角函数求解最值问题.本文利用四种解法处理一道三角形中的最值问题，以便读者参考.

一、构建代数函数求解

令x=tanA，y=tanB，则x+y=2，x>0，y>0，其中y=2-x>0，所以x∈(0，2).

方法二：(平均值换元构建代数函数)令tanA=1-t，tanB=1+t，其中t∈(-1，1),则目标函数

二、保留角元构建三角函数模型

解法四：利用三角恒等变换公式——升降幂公式就、辅助角公式及和差化积公式(积化和差公式)对约束条件及目标函数作合理变形，化归至单名单角的三角函数式.对约束条件sinC=2cosAcosB整合，由cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB可化简到cos(A-B)=sinC+cosC，对目标函数μ=cos2A+cos2B=(cosA+cosB)2-2cosAcosB