一道竞赛试题的多解及变式*

四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641112)

贺锌菠 刘成龙

一、问题及简评

简评:问题是数学的心脏，问题是研究的核心.好的数学问题能诱发思考、发展思维、启迪智慧.赛题是一个好问题，是研究的好素材.

(1)问题具有数学美：问题叙述简洁，富含简洁美；(2)问题解答视角宽：学生能利用从三角换元、函数法、重要不等式法、向量法、方程法、待定系数法等多个视角解答，既能开拓学生的视野，同时为求异思维的形成提供了良好的素材；(3)问题可变程度高：问题可从“构造原件”、“关联结构”、“元素状态”等视角得到一系列变式；(4)问题考查素养多：问题的解答需要学生具备逻辑推理、数学运算、数学建模等多种素养.

二、解法探究

问题解决是数学活动的基本形式和主要内容.正如数学家哈尔莫斯说：“数学家存在的主要理由是解问题，数学的真正组成部分是问题和解”.下文从不同的视角解答赛题.

视角1 三角函数法

点评：解法1运用三角换元法实现了双变量到单变量的转化.

视角2 函数法

点评：解法2、3、4均通过构造函数来解答，不一样的是所构造函数不同：解法2构造的函数需借助导数来得到单调区间；解法3构造了双勾函数，其单调区间学生比较熟悉，不需要求导；解法4构造了学生熟悉的二次函数求解.

视角3 重要不等式法

点评：通过对分式等价变形，借助均值不等式求解是此类问题的基本解法.

视角4 向量法

视角5 方程法

点评:解法8的关键是将问题转化为一元二次方程在区间根的分布问题.

视角6 待定系数法

三、问题变式

问题变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使问题的非本质属性时隐时现，而问题的本质属性保持不变的思维方式.[1]不断地变更数学问题中的情境或改变思维的角度，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置各种实际应用的环境等，以期暴露问题的本质特征或内在联系.[2]下面从问题的“构造原件”、“关联结构”、“元素状态”[3]三个方面进行问题变式，引导学生挖掘赛题的本质属性.

1.变“构造原件”

引入新元素“λ”，且λ>0可得：

点评：通过引入新元素“λ”，改变问题的组成“原件”，得到一个新的问题.新问题与赛题在实质上没有改变，变的仅是ab的取值范围.

基于变式1，引入新元素“μ”，可得：

2.变“关联结构”

将赛题中的ab移入条件等式，可得：

点评：改变ab在原问题中的位置，以改变问题的“关联结构”，将ab作为条件的组成部分.

基于变式4，引入新元素“λ”，且λ>0可得：

3变“元素状态”

将元素a和b范围扩大为实数，可得：

变式6 已知实数a和b，且4a2+ab+b2=1，则a+2b最小值为-2，最大值为2.

点评:改变元素a和b的状态，将正数a、b扩充为实数，此时不满足基本不等式的使用条件，无法直接用基本不等式求解,并且a+2b无法直接与条件建立关系,所以考虑从待定系数法求解.

基于变式6，引入新元素“λ”和“μ”，且λ>0可得：

变式8 已知实数a和b，且4a2+2μab+b2=λ，当μ∈(0,1)时，a+μb最小值为

通过对赛题的解法探究及多层次变式，巧妙地把赛题蕴含的数学思想、方法充分挖掘.在此过程中，充分体现了数学知识的融会贯通，对数学学科核心素养的培养具有积极意义.