用线性规划方法巧解一道竞赛题

贵州省毕节市梁才学校(551700)

张玉彬

文[1]根据文[2]方程思想探究指出：寻求t=G(x,y)限制在F(x,y)≥0上的最值问题，总是将自变量(x,y)约束在条件F(x,y)≥0(区域)的边界F(x,y)=0(曲线)上，从而寻求t=G(x,y)(F(x,y)≥0)的最值与寻求问题t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值完全类似，就可把约束条件是不等式(组)转化为约束条件是方程来解决，线性规划(目标函数和约束条件全是二元一次方程﹑不等式)取得最值的点一定是区域的顶点，非线性规划(目标函数和约束条件不全是二元一次方程﹑不等式)，取得最值的点一定是区域的顶点或目标函数图像与区域的边界相切的切点，本文根据这结论解自然解答一道奥林匹克竞赛题.

题目(2019年西班牙数学奥林匹克第5题)对所有满足0≤x≤y≤1，的实数对(x,y)且，设M(x,y)=max{xy,xy-x-y+1,x+y-2xy}，求M(x,y)可能取到的最小值.

题目参考解法很难想，且比较繁，下面用线性规划与非线性规划给出另一自然解答.

解：由题意得可分三种情形

图1 图2 图3

从题目的解答可知，凡是求M(x,y)=max{f(x,y),g(x,y),h(x,y)}的最小值，或求M(x,y)=min{f(x,y),g(x,y),h(x,y)}的最大值问题，都可化为线性规划问题或非线性规划问题自然解答.