复合函数性质的“遗传”规律探究

江西省九江柴桑区一中 (332100)

王 锋

复合函数是高中数学教学中的重点和难点，其性质研究相对较为困难，对学生的思维能力要求较高，在高考中往往是学生们比较惧怕的一类试题.面对看似深奥的复合函数，我们应该怎样研究它的性质特征呢？个人针对高考试题中的一道复合函数性质的问题进行拓展研究，探索复合函数性质的“遗传”规律.

例(2017年高考新课标Ⅰ卷文科第9题)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则( ).

A.f(x)在(0,2)单调递增

B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称

D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称

提出问题:复合函数的性质与内、外函数的性质有什么关系？为什么有时它们有相同的性质？什么性质能够“遗传”呢？

图1 图2

图3 图4

图5 图6

思考1若内函数u=g(x)关于(a,b)对称，且外函数y=f(u)关于(b,b)对称时，复合函数y=f[g(x)]是否具有中心对称性呢？

图7

思考2若内函数u=g(x)关于(a,b)对称，且外函数y=f(u)关于(b,m)对称时，复合函数y=f[g(x)]关于什么对称呢？

思考3若内函数u=g(x)关于(a,b)对称，且外函数y=f(u)关于x=b对称时，复合函数y=f[g(x)]关于什么对称呢？

图9

思考小结:综合以上思考分析，复合函数的中心对称性并非不可“遗传”，而是要在特定的条件下方可“遗传”，并且在“遗传”过程中，有时还会产生一些“变异”.从图形的特征中揭示其本质，这一过程十分有趣.

除了对称性、周期性之外，复合函数的单调性也具有一定的规律.众所周知，复合函数的单调性服从“同增异减”的原则，即内、外函数的增减性相同，则复合函数递增；内、外函数的增减性相反，则复合函数递减.为什么具有这样的规律？我们还是利用图形从本质上去理解这一规律.

探究本质对于复合函数y=f[g(x)]，若内函数u=g(x)在(a,b)上单调递增，外函数y=f(u)在(g(a),g(b))上单调递减，则复合函数y=f[g(x)]在(a,b)上单调递减.(如图10)因为内函数u=g(x)在(a,b)上单调递增,所以对于任意的x1,x2∈(a,b)，且x1y2，即对于任意的x1,x2∈(a,b)，且x1y2，所以复合函数y=f[g(x)]在(a,b)上单调递减.

图10 图11

同理可知，若内函数u=g(x)在(a,b)上单调递减，外函数y=f(u)在(g(b),g(a))上单调递减，则复合函数y=f[g(x)]在(a,b)上单调递增.

注意：对于复合函数y=f[g(x)]的单调性判断时，特别注意当内函数u=g(x)在区间(a,b)上单调时，研究外函数y=f(u)一定要注意寻找其对应的区间(内函数在(a,b)上所对应的值域)，即(g(a),g(b))或(g(b),g(a))，千万不要与区间(a,b)弄混.

对于复合函数y=f[g(x)]的奇偶性的“遗传”规律，我们只需从奇偶性的定义上进行判断即可.

结论1若内函数u=g(x)为偶函数，则复合函数y=f[g(x)]也一定为偶函数.因为u=g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x)，所以f[g(-x)]=f[g(x)]，故y=f[g(x)]为偶函数.

结论2若内函数u=g(x)为奇函数，外函数y=f(u)为偶函数，则复合函数y=f[g(x)]为偶函数.

因为u=g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)，而外函数y=f(u)为偶函数，所以f[-g(x)]=f[g(x)]，即f[g(-x)]=f[g(x)]，故y=f[g(x)]为偶函数.

结论3若内函数u=g(x)为奇函数，外函数y=f(u)也为奇函数，则复合函数y=f[g(x)]为奇函数.

因为u=g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)，而y=f(u)也为奇函数，所以f[-g(x)]=-f[g(x)]，即f[g(-x)]=-f[g(x)]，故y=f[g(x)]为奇函数.

面对各种各样的复合函数，其性质的“遗传”规律千变万化.我们在平时的学习中，不要浮于表面，死记这些结论，而应该透过现象看本质，从最根本的原因出发，探究其中所蕴含的道理，从而以不变应万变，真正理解这些性质的“遗传”与“变异”，这样才能熟练准确的应用它.