2018全国Ⅲ(21)题的命题背景及解法探究

安徽省合肥市一六八中学 (230601)

谈世勇

例(2018全国3卷第21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.

(1)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

(2)尝试一：(极大值点的第二充要条件：已知函数y=f(x)在x=x0处各阶导数都存在且连续，x=x0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n-1阶导数等于0，第2n阶导数小于0.)

证明：h′(x)=q′(x)f(x)+q(x)f′(x)-

f′(x0)=g′(x0)，且f(x0)=g(x0)，代入化简即得h′(x0)=0.

引理2 已知函数y=f(x)在x=x0处各阶导数都存在且连续，x=x0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n-1阶导数等于0，第2n阶导数小于0.

尝试二：若x=0是f(x)的极大值点，注意到f′(0)=0，则存在充分接近于0的δ，使得当x∈(-δ,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,δ)时，f′(x)<0(*),得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法.