同心圆锥曲线一个统一性质及简证

江苏省苏州市相城区陆慕高级中学 (215131) 万福昌江苏省苏州市相城区实验中学 (215131)

朱万华

2018年6月在某公众平台中出现了两道有关圆锥曲线问题研究的有奖征解题，引起广泛的讨论.其中第1个问题如下：

定义设两圆锥曲线有着公共的焦点F，且与F相应的准线f也是公共的，则称这样的两个圆锥曲线为同心圆锥曲线.

图1

问题1如图1，设椭圆和抛物线为同心圆锥曲线，作一直线交椭圆于A、B,交抛物线于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

此题公布后，很多老师参与解题研究，共提供了五种证明方法，但这五种解法都比较复杂，且不具有一般性.笔者经过研究，发现了任意两个同心圆锥曲线更一般的结论，并给出统一的简单的证明.

图2

结论如下：如图2，设两不同的同心圆锥曲线Ω1,Ω2，焦点为F,准线为f，作一直线交Ω1于A、B,交Ω2于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

可得Ω1和AB交点的极角：θA=arcsinm1+φ+2k1π,k1∈Z或θB=π-arcsinm1+φ+2k1π,k1∈Z.同理可得Ω2和AB交点的极角：θC=arcsinm2+φ+2k2π,k2∈Z或θD=π-arcsinm2+φ+2k2π,k2∈Z.∴∠AFC=arcsinm2-arcsinm1+2(k2-k1)π，∠BFD=arcsinm2-arcsinm1+2(k1-k2)π.因为∠AFC,∠BFD∈(0,π)，所以∠AFC=∠BFD.