多思路解析一道三角函数条件最值题

湖北省阳新县高级中学 (435200)

郑伟和 邹生书

这是一道以三角形为背景的二元三角函数条件最值问题，看似简单做起来却不容易，解题时思维受阻一波三折，对分析问题和解决问题能力的要求较高，本题具有一定的挑战性.下面将笔者的解法与体会写出来与大家交流分享.

1.构造直角三角形走“形”的路线

如图1，当B为钝角时，过点C作AB的垂线交AB的延长线于点D.

图1

评注:本解法综合性强，运用了分类讨论思想和数形结合思想，通过作高构造直角三角形化一般为特殊，将问题转化为直角三角形求解，最后运用锐角三角函数的定义和勾股定理将问题转化为三角形一边为自变量的函数求最大值.

2.解斜三角形走“边”的路线

3.运用不等式走“角”的路线

注意这个引理中的不等式与柯西不等式不同，柯西不等式左边是平方和而引理不等式左边是平方差，再就是两者不等号方向不同.下面用引理不等式走“角”之路线再解此题.

评注:对本解法而言引理不等式是问题解决的难点与关键.

4.巧用三角公式走“角”的路线求解