圆锥曲线最值问题处理策略

广东省河源市河源中学 (517000)

黄伟才

圆锥曲线最值问题是全国卷高考中的一个考查热点，其中弦长和面积最值问题最常见，题目综合性强，难度大，全面考察了学生对圆锥曲线性质、一元(二元)函数值域求解和计算技巧等方面能力.为什么面对圆锥曲线的最值计算问题学生会如此恐惧？究其根源，一是计算能力的训练不够，二是计算技巧的把握还很欠缺，三是几何关系和代数关系没有能很好的进行合理转化，四是函数值域处理能力欠缺，更重要的是由于时间有限，很多学生从内心就排斥这道题，甚至从未试图计算出准确答案来！本文将对面积最值的问题主要类型和解决策略进行总结归纳，希望对读者有帮助！

类型一 一元变量的面积最值

图1

图2

思维升华：这类一元变量最值问题，通常动直线是过定点斜率不定或截距变化斜率不变，如定点在x轴(y轴)且在椭圆内(外)，不管哪一种类型，都要恰当选择直线点斜式方程避免分类讨论，并合理选择三角形面积公式进行割补等简化运算，此外还要求熟练掌握换元法和配凑法等策略.

二、二元变量最值问题

圆锥曲线最值问题经过几何问题代数化过程，有时根据条件需引入二元变量，这时往往需要学生有更强的计算能力，准确找到二元变量之间的关系，然后进行代入消元或整体换元，转化成一元变量最值问题.

例2 (2016年新课标Ⅰ卷20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.问：设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).由韦达定理得

思维升华：过焦点的弦长倾斜角式除了可以用直线参数方程推导，对于椭圆和双曲线还可以结合焦点三角形，应用余弦定理和定义法推导，当然还可以应用第二定义建立方程推导.

图3

变式4(2017新课标Ⅰ理10)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ).

A.16B.14C.12D.10

圆锥曲线最值问题，除了需要掌握常见弦长公式和联立求最值方法，还需熟练掌握面积割补策略，弦长公式倾斜角式，点斜式的两种设法，几何性质等！当然某些问题也可以把椭圆仿射变换转化为圆，然后利用圆的几何性质去解决弦长和面积最值.