对一道向量联赛题的探究与感悟

福建省闽清教师进修学校 (350800)

黄如炎

1.试题呈现

2.试题解析

图1 图2 图3

图4

图5

图6

3 变式推广

由解析7可得：

图7

由此可得：

还可得：

由此可得：

把三角形改为三棱锥同理可得：

4 解题感悟

以上通过多视角探寻解题方法，完全涵盖了向量的基础知识(如向量基本概念，向量线性运算，向量数量积，向量基本定理和向量坐标表示等)和基本技能(几何法，基底法，坐标法等)，发展了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．解析1是通过特殊化立竿见影地获取答案，体现了“普遍性寓于特殊性之中”．特殊情形的探究既得正确答案，又节省考试用时，有时还给一般问题的解决提供思路和借鉴的方法．解析2是根据向量加法的几何意义和平几知识，体现了向量既有几何图形的神韵，又有代数运算的本质，是沟通代数、几何的重要桥梁．解析3、解析4是用基底法和平面向量基本定理，体现了向量的本质要素．解析5是坐标法，通过向量的坐标化，把对“形”的推证转化为对“数”的运算．几何法、基底法、坐标法体现了向量的本质规律，是解决向量问题的基本方法．解析7通过联想转化和伸缩变换，利用三角形重心性质巧妙快速求解问题，体现了向量是解决平面几何的有力工具．此法直透本质，可发现原命题的更一般形式及各种变式，成为本题最有价值的方法．

解题要力求一题多解、一题多变，达到一题多得．在各种方法中要根据问题的本质规律选择解题的通法，给学生解题的通道，从中形成和发展学生的核心素养．但不拘泥于通法，还要根据问题的结构特征，探寻通法之外的解题蹊径，期盼达到“曲径通幽处，禅房花木深”之佳境，在探幽路上提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，培养理性思维和创新意识．