2019欧洲女子奥赛罗马尼亚选拔赛试题的加强

福建省福清第三中学 (350315)

何 灯

试题已知a,b,c≥0且满足b+c≤a+1，c+a≤b+1，a+b≤c+1，证明:a2+b2+c2≤2abc+1.

此题题设及待证不等式均为对称，但限制条件较多且不常见，导致破解试题有一定的难度.宋庆老师在罗马尼亚不等式论坛上给出试题的如下解答：

证明:由条件得a,b,c∈[0,1]，不妨设a=max{a,b,c}，则0≤a-bc≤(1+b)(1-c)，0≤a-bc≤(1+c)(1-b)，两式相乘得(a-bc)2≤(1-b2)(1-c2)，展开可得a2+b2+c2≤2abc+1.

寥寥数行即将问题破解，足见宋老师功力.下面笔者给出试题的一个加强.

定理已知a,b,c≥0且满足b+c≤a+1，c+a≤b+1，a+b≤c+1，则有a2+b2+c2+(1-a)(1-b)(1-c)≤2abc+1.