复数与平面向量的关系分析及教学思考*

江西师范大学教育学院 (330022) 邱 弘江西师范大学数信学院 (330022)

刘咏梅

复数与平面向量的关系分析及教学思考*

江西师范大学教育学院 (330022) 邱 弘江西师范大学数信学院 (330022)

刘咏梅

在教学实践中，学生经常提出疑惑：为什么复数和向量的加(减)法都与平行四边形有关？为什么向量的乘法(数乘)和复数乘法几何解释不同？向量与复数两者只是形式具有共性还是具有本质的相同，原因是什么？……这些问题不仅是高中学生需要思考的问题，也是进一步学习高等数学需要解决的问题．

1.复数与平面向量的异同

复数与向量在教学中对学生的认知影响比较大，两者都具有“起始”的特点，两者具有一些共同属性，也存在一些差异.我们从属性、运算法则、问题解决等几个方面对此进行分析．

(1)属性的异同

形式上的异同是两者内在联系的外在表现，复数和平面向量都具有代数表示方式和几何表示方式．当向量的起点确定为坐标原点时，平面内的点既可以表示复数，也可以表示向量的终点．向量与复数都与平面内的点具有一一对应的关系(如图1)．

图1

向量、复数借助平面内的点建立了对应关系，具有一系列共性，在一定的条件下可以互相转化，这有利于问题的解决．

平面向量和复数属性之间也存在差异．向量这一概念兼具“数”与“形”的特点，可以从两个方面分别研究[1]．向量本质是具有大小和方向的量，大小和方向相互联系、相互制约，形成向量的特有性质．复数本质是“数”，不具方向性，但复数又是二维数，与一维数在属性上存在差异，具有多种表示形式，而且能通过运算在代数、三角、指数等形式中互相转化，这是向量不具备的．

(2)运算法则的异同

(3)解决问题的方法异同

向量、复数不仅自身是重要的研究对象，也是解决数学问题的重要工具，运用向量或复数的方式解决问题，具有简洁明了的优势．

案例2 余弦定理的证明方式是多样的，其中借助向量和复数都可以给出，本文给出借助复数证明的思路．

证明思路：以ΔABC的顶点A为原点，边AB为实轴建立复平面，则点A,B,C表示的复数分别为ZA=0，ZB=c，ZC=b(cosA+isinA)，通过运算实现三角问题转化为复数问题进行解决．

上述问题的解决可以看出，通常在运用复数和向量解决问题时，在方法和思维上具有一定的共性．两者在问题解决中也各自具有特点，向量由于具有“(有向)线段”的特点，在解决平行、垂直、重合等问题具有优势，复数在解决代数问题方面具有优势．

2.异同原因分析

向量和复数的相互联系和相互对立，形成了其研究过程和研究结论具有差异性也具有一致性的特点．向量和复数在表示方法、运算法则以及问题解决等方面都具有共性，也具有差异性，这些共性或差异性起源于概念的定义和运算法则的确定背景．

(1)概念起源的差异性决定本质属性的差异

数学的研究对象的确定依赖概念的定义，而概念的定义依赖概念的产生背景，产生背景不同，定义也不同，无论是共性还是差异性都起源于定义的共性和差异性．由于向量与复数都与平面内的点具有一一对应的关系，因而具有共性．如都不具有单调性，都只具有相等或不相等的关系等．

向量的研究起源于实际问题，也就是具有起源于“形”的特点，可以认为是“几何→代数”的发展过程．复数的研究起源于“负数开方”问题，可以认为是“代数→几何”的发展过程．因而，向量和复数都具有几何形式和代数形式，但因果关系不同．

由于概念产生的背景的差异性，在研究性质时的视角存在差异性．虽然在“形式”方面的相互联系，形成运算在形式上的共性，但本质是不同的．向量用有向线段表示，复数用平面内的点表示．向量与复数之间存在一一对应关系，但两者不能互相代换，只能借助“点”的关系相互转换．

(2)运算法则的共性

加减法是同类对象之间的运算，不改变对象的属性，复数和向量的加减运算结果分别是复数和向量，几何表示依然是同一平面内的同类对象．两者都以平行四边形为依据进行定义或解释，每一个加(减)运算都对应一个平行四边形(或三角形)．

由于向量与复数的加减运算的几何表示都与平行四边形相联系，运算法则的合理性的检验也应与平行四边形的性质具有不矛盾性．如平行四边形的基本特点之一是两条边在对角线的投影的和等于对角线的长．说明依据平行四边形确定向量或复数的运算，与用平面几何方法研究的结论一致．

(3)运算法则的差异性

乘法运算对于以实际为背景形成的量一般会改变其属性，如向量与向量相乘(数量积)结果不再是向量．向量的数量积法则确定来源于物理中相关研究，而复数的乘法运算法则的背景是代数运算．也即向量法则的确定的依据是现实，复数法则的确定是依据是数学本身．复数的运算只要在数学中不形成矛盾即可，平面向量乘法运算需要与实际背景不矛盾．

由于复数运算法则的确定是特殊的等式，这种确定方式难以推广，如从二元数推广到更多元数的过程中，遇到了如何确定运算法则的问题．向量对乘法的规定具有一般性，具有更好的可推广性．复数的运算无需重新定义，因而运算法则的确定类比实数运算法则即可，平面向量运算的定义依赖背景复杂，找不到原型的难以定义运算，如向量的除法运算难以定义．

3.教学思考

教学不仅要使学生获得知识，还要使学生体会知识产生的过程．关注思维发展的基本方法是以数学知识的发生发展过程为载体，为学生概括活动搭建平台[3]．概念的形成教学中，教师的引导应该使学生感受到研究对象的产生的自然性．如前所述，向量的形成源于对具有物理现象中的力、位移、速度等既有方向又有大小的量的抽象，保留“大小”和“方向”作为本质属性，形成向量的概念．因而，从形式上是源于“几何”的，向量的基本性质的研究也借助几何直观进行分析．复数的形成源于代数运算．但是，无论复数还是向量都具有几何形式和代数形式，教学中要使学生体会这种形式的相同和本质的差异所形成数学对象的特点．

(1)关注概念的形成教学

向量与复数概念的建立都是数学研究中的重大突破，复数使数的范围扩大到二维，向量使数学研究对象扩充为既有大小又有方向的量．这无论对数学自身的发展还是数学的运用都具有重要的价值，教学中应创设情境，从多角度突出这一价值，使学生体会数学的发展和数学与实际的关系．

教师在这个环节还可以提出一系列问题引导学生思考，如为什么要从功的运算引出向量的数量积运算？物理的功的运算对确定向量的数量积的意义是什么？为什么称为数量积而不是称为向量的积？这些问题的思考可以使学生理解，面对单纯从数学原有运算中难以确定运算法则时，生活实际或物理世界的已有研究是确定运算法则的重要依据．这不仅是数学运算法则的制定特点，也体现了数学与现实之间的关系特点，为学生理解数学、认识数学奠定基础．

与此同时，在形成定义过程中充分认识数学研究问题的方法特点.数学研究的起点是定义，如何定义反映了对研究对象本质属性的认识．向量的属性是有大小和方向的量，复数是二维数，这是从纷繁复杂的问题中抽象出的本质属性，由此形成定义．教学中，对定义的形成方式充分展示，促进学生理解定义在数学研究中的起点作用和数学定义的方式，从而体会数学研究问题方法的特点．

(2)突显数学研究中一般化的价值

华罗庚曾经说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．复数用“形”描述，使研究感受到了“存在”，向量用形表示，反映方向的特点．“数”与“形”相比，具有更一般的特点，无论是“向量”还是“复数”，只有借助代数和空间想象才能得到推广和发展．

无论代数还是几何，在数学研究中，需要不断地将问题一般化，才能通过解决新的问题推动数学的发展．

数学中存在大量相互联系的研究对象，在教学中教师应善于引导学生分析和类比，深化学生对知识的理解，形成数学知识的网络，这对于提升学生的思维能力和解决问题的能力具有重要的意义．

[1]刘咏梅．影响数学观的中学向量概念教学[J]．数学教育学报，2009,18(4)：9-12．

[2]菲利克斯·克莱因著，舒湘琴，陈义章，杨钦樑译．高观点下的初等数学[M]．复旦大学出版社，2008:56．

[3]章建跃．理解数学 理解学生 理解教学[J]．中国数学教育(高中版)，2010.96(12)：3-7．

*本文是江西省协同创新项目《江西省中小学教师数学学科课堂教学评价量表的制定》的部分成果．