高中数学概念教学初探

江苏省海州高级中学 (222062)

徐进勇

高中数学概念教学初探

江苏省海州高级中学 (222062)

徐进勇

数学知识体系由概念、命题、推理组成．数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，体现了数学学科的灵魂和精髓．学生在数学学习过程中，数学概念是学生认知的基础，教师在进行数学教学过程中，数学概念是学生数学思维形式的一种体现．正确理解数学概念及其生成过程，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养的最好素材．

1 关于数学概念

1.1 数学概念定义

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，是利用科学抽象的方法，对大量生动的直观背景材料进行去粗取精，由表及里，由此及彼的加工和制作[1]．数学概念是一种数学的思维形式，是学生不断感知经验的活动过程，对数学知识和学习能力培养具有“奠基植根”作用．

1.2 数学概念特点

数学概念形成是一个提炼、概括、抽象的过程．具有如下特点：

①主观的抽象性和客观具体内容的统一．大多数概念都是排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性而形成的．

②符号化、形式化的特点．数学符号是抽象数学概念的具体表示，数学概念常使用数学符号来表示，使概念形式化、简明化．

③具有很强的系统性．任何一个概念都处在一定的知识体系中，要掌握概念必须弄清楚概念的地位和作用，以及概念之间的内在联系，要在整体全局上把握概念的全貌，以便于把新概念纳入原有的知识体系中．

④数学概念的应用价值．中国科学院院士、数学家李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念，不是玩技巧．”[2]概念不仅包含知识，更隐含着思维方法，只有通过深入地揭示隐藏在具体数学概念背后的思维方法，我们才能真正做到把数学课讲活、搞懂、入深．

1.3 数学概念分类

从根本讲，几乎所有数学中那些最初的和最古老的问题都是由外部世界产生的，但是数学的发展对于现实世界有表现相对的独立性．一门数学分支或一种数学理论一经建立，人们便可以不受外界情况的影响，仅靠逻辑思维而将它向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生．也就是说，在数学中研究的不仅是直接从现实世界抽象出来的数量关系和空间形式，而且还研究那些在数学内部中以已经形成的数学概念和理论为基础定义出来的关系和形式．据此，笔者把数学概念按生成方式分为二种类型：一是来自于客观世界，是对客观世界中的数量关系和空间形式的抽象而生成的概念，如集合、函数单调性、圆、椭圆等概念；二是来自于数学内部，是在已有数学理论上的逻辑建构而创造的新概念，如对数、导数、复数等．

2 数学概念教学现状

当前数学概念教学走过场现象比较普遍，老师不喜欢教、害怕教，学生不喜欢学、不重视学，讲完定义就做题，做了题才发现学生对概念一知半解，总结起来主要存在以下问题：

①学习方式单一．往往是一介绍、二注意、三训练，概念教学习题化倾向严重．

②重结论轻过程．往往把数学概念看作一个名词，概念教学就是对概念作解释，要求学生记忆，而忽视数学概念的引入和形成过程．

③缺失数学概念背后数学文化的发掘．不能揣测科学家创造概念的历程，对概念产生的原因、目的及科学性理解不到位，概念教学显的不够自然，内涵不丰富．

④重讲授，轻探索．教师往往习惯于将一些新的数学概念灌输给学生，仅考虑教的过程，忽视学生学的过程，影响了学生正确数学观念的形成，不利于学生的能力发展．

3 数学概念教学探索

《普通高中数学课程标准(实验)》针对数学概念的教学提出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质．在数学概念教学过程中，学生应该理解数学概念形成的过程，并掌握在这一过程中所蕴含的思想方法，使学生易于接受枯燥难懂的数学概念．

3.1 模式探索

类型一

从哲学上讲，概念是抽象思维形式的体现，是判断、推理等逻辑思维的起点，因此，数学概念的教学主要培养学生的抽象思维能力．教学中，教师须提供丰富而直观的材料，引导学生观察、比较和分析材料，最终概括出概念的本质属性，从而真正理解数学概念．对于从客观世界中的数量关系和空间形式中抽象出来的概念，可以采取如下步骤：创设情境，观察实例；分析归纳，总结共性；引入符号，抽象本质；规范书写，明晰概念；应用概念，深化理解．

案例1 苏教版高中数学必修1中第2.2.1节“函数的单调性”

情境：如图为某市一天24小时内的气温变化图,请说出温度随时间的变化趋势．教学中让学生从实际出发概括为“上升还是下降”，产生感性认识，并继续让学生多举些生活中的实例，如上山和下山等．

引入：如何量化y随x增大而增大？以此启发学生引用数学符号，从数学语言的精准出发，转化为当x1f(x2))．

规范：你能尝试给函数的单调性下一个定义吗？课堂上让多个学生发表见解，并在交流中逐步完善对概念的理解，特别是对“任意性”、“某个区间”的理解，正例说明充分性，反例说明必要性．

通过这一系列的认知过程锻炼了学生的判断力、概括力及对概念的运用能力，培养了比较与分析、概括与抽象、判断与推理的思维习惯，提高了数学语言的表达水平．

类型二

劳动创造了世界，促进了人类文明的不断进步．数学中很多概念就是对劳动创作的语言刻画．这些概念往往有很强的操作性，对于这类概念可以采取“做中学”的方式来建构．可以采取如下操作步骤：创设情境，提出问题；操作体验，感知概念；分析成因，感悟本质；规范书写，明析概念；应用概念，深化理解．

案例2 苏教版高中数学选修1-1第2.2节“椭圆”

情境：用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，此时学生观察到截面为圆形．水杯倾斜，再让学生观察水平面，此时学生发现截面是什么图形？

操作：如何用一根细绳画圆？如果将细绳的两端固定在这两点，用铅笔挑起细绳并绷紧，移动铅笔，可画出什么图形？

感悟：学生通过动手实践、观察后，由点动成线，你能分析曲线形成的机理，明确点动的条件吗？

明析：你能模仿圆的定义，试着给椭圆下定义吗？由于学生所具有的数学知识不足和思维的局限性，所下的定义不一定完整，特别是椭圆定义中条件的限制.这时教师不必急于纠正，可以让学生展示自己的思维过程，引导其进行讨论.在讨论中让学生相互启发，不断纠正错误，直至得出完整、准确的定义.

应用：你能通过椭圆定义建立椭圆方程吗？

通过这种方式，让学生经历概念的生成和完善过程，提高了学生归纳概括能力，加深了学生对数学是现实反映及对概念本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风.

类型三

数学中大量概念都是在数学发展过程中逻辑“演绎”的产物．是“数学自身理论的逻辑建构，是抽象逻辑思维的结果，没有客观现实与之对应，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉”[3]．对于在已有数学理论上的逻辑建构起来的概念，可以采取如下步骤：创设情境，观察实例；分析判断，认识冲突；历史演化，类比创新；规范书写，明析概念；应用概念，深化理解．

案例3 苏教版高中数学必修1中第3.2.1节“对数”

情境：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,(若最初质量为1)，问(1)经过5年，剩留多少？(2)经过多少年，剩留量为0.5？

分析：学生思考后，针对第(2)问所列的等式，提出这样的指数x存在吗？出现新问题，产生认知冲突，引导学生追溯科学家的想法，先说明存在性，是定义的前提．

规范：新的符号应与谁有关？你觉得如何表示好？ 让学生发挥想象，尔后引入数学发展史．16世纪前半页，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更为准确的天文知识，对计算速度和准确度与日俱增，人们希望将乘除法归结为简单的加减法．例如：如何计算36×365=?如果我们能知道2的多少次方等于36和365，就可进行运算2m·2n=2m+n，如果再知道2m+n=?就可以算出结果．在17世纪人们就制作了这样包含足够多数字的表格，通过查表的方式解决了上述问题，这期间有许多人为了制作这样的一张精确的表格而献出了自己毕生的精力，从而达到计算化繁为简的目的．苏格兰数学纳皮尔(1550～1671)发明了“对数”一词，意指“对(照)表中的数”进行运算，并记作logaN,即对数英文logarithm的前三个字母．

应用：真数N的范围是什么？如何求对数的值，如log24,log22,log21？通过练习巩固对数的定义，强化对数与指数的互化．

将数学发展史融入课堂，关注数学的文化传承，展示数学概念的产生背景和发展过程，还原数学概念的“成长历程”，能有效将“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”这三维目标融入一体，从而有效地培养学生的数学科学文化素养，发展学生的实践能力和创新精神.

3.2 情境创设

新课程理念提倡教师在教学过程中，采取适当的素材，创设一个有利于课堂教学的情景．不同的数学概念产生的背景各有不同，有的来源于实际生活和生产，有的为了满足数学内部的需要而直接规定．因此教学中要根据所学的概念的种类，寻找适合的引入方式，让学生容易接受．数学问题情境化的导入，也有利于调节学生的心理状态，激发学生的学习兴趣，留给学生广阔的思维空间．总结起来主要引入方法有:

①通过实例引入．概念教学中，例子是必不可少的，尤其是比较抽象的数学概念．在举例子时，既要有正例也要有反例．最好先呈现正例，以方便学生从例子概括出概念的共同特征，再适当呈现出反例，以便加深学生对概念本质的认识．

②复习旧知引入新知．数学上许多新知都是在原有知识上的变形与提升，通过回顾旧知识和产生的新问题，引起学生认知冲突，激发学生探求新知．如案例3．

③运用多媒体直观展示．通过多媒体技术展现概念的形成过程，形象直观，印象深刻，易于发现共性，便于接受理解．如立体几何中的诸多概念．

④运用直接感知或操作．数学知识来源于生活，许多概念都能在现实生活中找到相对应的原型，选择学生身边的、生动有趣的、具有一定数学价值的素材作为数学活动的内容，将会为学生的生活经验发展成数学经验提供更为丰富的内涵．如案例2．

⑤以数学史引入．数学概念是数学家发明创造的，因此，在数学概念教学中，可以引入一些与之有关的数学家或数学故事，这样既可以激发学生的数学学习兴趣，又可以鼓励学生勇于探索和创新，同时还能向学生渗透数学发展史，增加学生的课外阅读兴趣．如案例3中对数的发展史．

3.3 问题引领

基于学生原有认识提出问题，设置问题串，引导学生思考，进而解决问题，是当今数学课堂的一种重要的组织形式．数学课堂教学设计的理念应完全由知识主线到思维活动主线再落实到问题为主线的转变，数学概念教学更是如此．上述三个案例中概念的引入都是通过一连串具有逻辑联系的问题引导学生逐步理解概念的．因此，问题串可以看成是数学思维过程的“路标”，是浓缩了的数学思维过程在教学设计中的体现．其次，问题串设计好后要充分运用“元认知提示语”发问，先给学生以暗示，从隐蔽性强的弱暗示提示语进行启发，到用隐蔽性逐步减弱的强暗示提示语进行启发，“元认知提示语”所发出的暗示有一个“暗”到什么程度的问题，离目标远，暗示就隐蔽，元认知成分就高；离目标越近，暗示就越明，元认知成分就越少，认知成分就越多[4]．针对数学概念理解的难易程度，教师可斟酌这个从“暗”到“明”的发问，充分顾及到不同层次学生，让他们都能得到发展．

3.3 应用巩固

数学概念具有高度的抽象性，需要一个渐进的学习和消化过程．学习数学概念后，如果没有及时进行巩固练习，会造成一些概念理解不透彻、不全面现象，反映出课堂上好似听懂了，课后却无法独立做题．因此数学概念的应用巩固是必不可缺少的，可以通过课堂例题与练习题和课后作业来达到对于数学概念的进一步理解与巩固．3个案例中也都通过习题的训练，让学生在“做中学”、“做中悟”．

如果把教学看成艺术，那么概念课的教学应该是艺术中的瑰宝，自身魅力无穷、探索永无止境．教学中，教师只有对数学概念有着深刻的认识和理解，把握概念的历史、内涵、本质、用意，并创造性地使用教材，优化概念教学策略，科学设计教学过程，才能让学生从中体验数学家概括数学概念的心路历程，真正使学生在参与的过程中产生内心体验和创造，以达到认识数学思想和数学概念的本质，领悟用数学的观点看待和认识世界的思想真谛．

[1]吴先芳,郭熙汉.数学教育学[M].武汉:华中师范大学出版社,1997:116,117.

[2]李邦河.数的概念的发展[J]．数学通报，2009,08：1.

[3]李善良.数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005：4.

[4]李福军．追求教学的“贴地而行”[J]．中学教研(数学)，2015(3)：10.