幂、指、对函数图像增长差异的探究及应用

广东省深圳市深圳中学 (518001)

黄文辉

幂、指、对函数图像增长差异的探究及应用

广东省深圳市深圳中学 (518001)

黄文辉

幂、指、对函数图像增长差异在高考题中作为处理函数不等式问题的重要模型，高中数学人教A版必修1第101页对其进行了定性描述，在学习了导数工具后，我们可对其进行定量研究．原问题即等价于问题1：证明：当α>0,a1,a2>1时，存在x0>0，当x>x0时，有ax1>xα>loga2x．

把问题1分为两部分：问题1(1)：证明：当α>0,a>1时，存在x0>0，当x>x0时，有xα>logax；问题1(2)：证明：当α>0,a>1时，存在x0>0，当x>x0时，有ax>xα．

为证明问题1(1)，采取由特殊到一般的策略：首先，证明引理1：证明：当x>0时，有x>lnx．

引理2存在x0>0，当x>x0时，有xα>lnx．

问题1(1)得证．

问题1(2)证明：当α>0,a>1时，存在x0>0，当x>x0时，有ax>xα．

所以，课本上定性描述的一个结论，通过导数工具得到了定量的证明．此结论成为我们思考函数不等问题的依据．

例1 (2014福建理科数学压轴题)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1．

(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的极值；

(Ⅱ)证明：当x>0时，x2

(Ⅲ)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，+∞)，恒有x2

(Ⅱ)对于任意给定的正实数λ、a，证明：存在实数x0，当x>x0时，f(x)>0．