引入切线，柳暗花明——一道竞赛试题引发的思考

安徽省枞阳县宏实中学 (246700)

王玉宝 江保兵

引入切线，柳暗花明
——一道竞赛试题引发的思考

安徽省枞阳县宏实中学 (246700)

王玉宝 江保兵

1.试题及其解答分析

例1 (2016年全国高中数学联赛福建预赛第12题)已知函数f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x，求a,b的值；

(2)若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.

2.引入切线，柳暗花明

在代数式ln(ax+b)≤x中，包含着曲线和直线的基本关系：直线在曲线的左上方.结合几何画板，不难看出当直线与曲线相切时，ab取最大值，如图1所示.按照这种思路，很快得到本题的第二种解法：

图1 图2

3.试题的引申：切线法的初步应用

我们可以看到，借助于函数切线，在解题时给我们以形象生动的直观启示，从而使我们的解题方法显得简洁明快.我们先来看两道类似的数学试题.

(1)求f(x)的解析式及单调区间；

例3 (2013年高考新课标Ⅱ理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调区间；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

图3

(2)当m≤2时，证明f(x)>0⟺ex≥ln(x+2).结合几何画板，画出y=ex与y=ln(x+2)的图像.如图3所示.我们发现，直线y=x+1是y=ex与y=ln(x+2)公共切线，显然有ex≥x+1，x+1≥ln(x+2)，(这个证明留给读者).即∀m≤2,ex≥ln(x+2)⟺f(x)>0.

4.切线法的进一步应用

仔细思考上面几例的证明方法，可以发现，在解函数类不等式问题时，借助于函数的切线，可以使解题过程显得干净利索.那么针对不同的函数，对应的切线又有什么性质呢？

①若函数y=f(x)在定义域I上连续且∀x0∈I,f″(x0)>0，则有f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0).

②若函数y=f(x)在定义域I上连续且∀x0∈I,f″(x0)<0，则有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).

我们只证明①，②的证明留给读者.

证明：构造F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0)，求导F′(x)=f′(x)-f′(x0)，F″(x)=f″(x)>0，F′(x)单调递增，又F′(x0)=0，所以F(x)≥(F(x))min=F(x0)=0，即f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0).

我们再来看一个利用切线性质证题的经典范例:

(1)求y=g(x)的解析式；

(2)证明：当x>0时，恒有f(x)≥g(x)；

在解函数类综合性大题时，在涉及不等关系时，如果我们能利用好切线，不仅能达到以简驭繁、简缩思维功效，而且让人对数学问题有一个直观的理解，更好地理解命题人的命题意图、洞察试题的结构，从而提高解题的效率.