一道圆锥曲线试题的命制与分析

福建省泉州奕聪中学 (362000)

吴 鹏

福建省泉州市第五中学 (362000)

杨苍洲

一道圆锥曲线试题的命制与分析

福建省泉州奕聪中学 (362000)

吴 鹏

福建省泉州市第五中学 (362000)

杨苍洲

1 试题内容

设圆F1：x2+y2+4x=0的圆心为F1，直线l过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直，l交圆F1于C,D两点，过F2作F1C的平行线交F1D于点E．

(1)证明||EF1|-|EF2||为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线Γ，直线l交Γ于M,N两点，过F2且与l垂直的直线与圆F1交于P,Q两点，记△PQM，△PQN的面积分别为S1,S2，求S1+S2的取值范围．

2 考查目标

本题主要考查初中平面几何知识(平行线性质、垂直平分线性质等)，直线的斜率，直线的方程，轨迹及轨迹方程，圆的方程及其几何性质，双曲线的定义，双曲线的标准方程及其几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，函数的最值问题等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．

3 命制过程

命题者构造了两个定点，即圆心F1(-2,0)和F2(2,0)，动点E满足||EF1|-|EF2||为定值，即E点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.母题可见于《人教A版选修2-1》第62页A组第5题.于是命题者设置了问题(Ⅰ)：证明||EF1|-|EF2||为定值，并写出点E的轨迹方程．

为进一步突出解析几何的基本思想方法，第二问中引入了直线、圆、双曲线、直线与直线的位置关系、直线和圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系等大部分解析几何的知识，以考查学生解析几何的基本思想方法与运算求解能力、推理论证能力、转化与化归能力等，因此设置了问题(Ⅱ)：设点E的轨迹为曲线Γ，直线l交Γ于M,N两点，过F2且与l垂直的直线与圆F1交于P,Q两点，记△PQM，△PQN的面积分别为S1,S2，求S1+S2的取值范围．

4 解题思路

第(Ⅰ)步的求解：先用圆的几何性质求证

||EF1|-|EF2||为定值，再由定义得到双曲线的轨迹方程．

第(Ⅱ)步的求解：设直线l:y=k(x-2)(k≠0)，然后再用弦长公式分别求出直线与双曲线相交所得的弦长，直线与圆相交所得的弦长，从而求出△PQM，△PQN的面积，并利用函数求值域的方法求出S1+S2的取值范围．

5 试题详解

(Ⅰ)圆F1：(x+2)2+y2=4，圆心F1(-2,0)，半径r=2，如图1所示．

因为F1C∥EF2，所以∠F1CD=∠EF2D.又因为F1D=F1C，所以∠F1CD=∠F1DC，所以∠EF2D=∠EDF2，所以ED=EF2，故||EF1|-

|EF2||=||EF1|-|ED||=2<|F1F2|.

图1

6 试题评价

本题主要检测的数学学科素养有：运算求解能力，推理论证能力、数据图像处理能力和知识应用意识.预计本题难度系数0.3，拟作为高考理科数学模拟试卷的第20题.

命题者呈献给考生的是一个圆锥曲线试题.试题与全国卷圆锥曲线题型风格极其类似，适合作为参加全国卷考试的考生作为临考的模拟考试.

(1)试题的表述简洁明了，设问方式干净利落，有效减少了考生的阅读负担.试题的母题可见于《人教A版选修2-1》第62页A组第5题，背景熟悉，让学生有一种似曾相识的感觉，这对身处考场的学生来说是很好的精神安慰，有利于学生水平的正常发挥.

(2)切入点多，第一问求定值可用初中平面几何知识求解，也可用解析法；第二问求弦长，也有较多的切入点，有助于学生各显神通，给不同层次的学生都提供了机会，对水平高的学生来说可考察知识面的宽度、解题技巧的高明、思维的深度.

(3)试题第(Ⅱ)步，考察过定点的直线与双曲线、圆相交所成的弦长公式，通过转化与化归，函数的最值，重在考查学生数形结合、化归与转化、分类与整合的数学思想.此步骤具有明显的区分度，能有效地区分出优等生与中等生对数学知识不同的掌握程度.

从试题及其解答可以看出本题符合考试大纲对高中毕业生的检测要求，突出了解析几何的基本思想方法，从试题的命题过程可以看出命题者有较高的数学素养.