从一道课本例题看圆锥曲线的又一统一性质

湖南省浏阳市教育科学研究所 (410300)

朱保仓

湖南省浏阳市第一中学 (410300)

谭跃良

从一道课本例题看圆锥曲线的又一统一性质

湖南省浏阳市教育科学研究所 (410300)

朱保仓

湖南省浏阳市第一中学 (410300)

谭跃良

1.例题再现(人教A版高中数学选修2-1:2.4.2抛物线的简单几何性质 )

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

图1

证明：如图1，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立坐标系．

2.问题的提出

椭圆、双曲线和抛物线同属于圆锥曲线，适合于抛物线的性质结论是否也适合于椭圆与双曲线呢？

3.问题研究

通过研究可以得出如下结论：

过椭圆焦点F的直线交椭圆于A,B两点，直线l是椭圆对应于焦点F的准线，过F作FE⊥l，垂足为E，点G是线段EF的中点，直线AG与准线l的交点为D，则直线BD平行于椭圆的对称轴．

证明：作BD′⊥l，垂足为D′，以下证明A,G,D′三点共线．

图2

=0.∴点G在直线AD′上．∴点D′与点D重合．所以直线BD平行于对称轴(x轴).

当直线AB与x轴垂直时，结论显然成立．同样可以证明：对于双曲线，也具有类似的结论：

过双曲线焦点F的直线交双曲线于A,B两点，直线l是双曲线对应于焦点F的准线，过F作FE⊥l，垂足为E，点G是线段EF的中点，直线AG与准线l的交点为D，则直线BD平行于双曲线的对称轴．

至此，我们得了圆锥曲线的一个统一性质：

图3

如图3，过圆锥曲线C的焦点F的直线交曲线C于A,B两点，直线l是曲线C对应于焦点F的准线，过F作FE⊥l，垂足为E，点G是线段EF的中点，直线AG与准线l的交点为D，则直线BD平行于曲线C的对称轴．

4.结论推广

与圆锥曲线的焦点、准线有关的某些性质可以推广到更为一般的情形，上述性质是否也可以推广呢？

通过研究，可以得出如下三个结论：

过定点F′(m,0)(m≠0)的直线交抛物线y2=2px于两点A,B，过点F′作直线l′:x=-m的垂线，垂足为E，点G是线段EF′的中点，直线AG与直线l′的交点为D，则直线BD平行于x轴．

下面就双曲线的情形给出证明．

图4

证明：如图4，作BD′⊥l，垂足为D′，以下证明A,G,D′三点共线．

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知可得

∴点G在直线AD′上．∴点D′与点D重合．所以直线BD平行于x轴．当直线AB与x轴垂直时，结论显然成立．对于抛物线和椭圆结论的证明过程类似，本文不再赘述．