探析解决数列不等式问题的函数策略

浙江省绍兴鲁迅中学 (312000)

陈少春

探析解决数列不等式问题的函数策略

浙江省绍兴鲁迅中学 (312000)

陈少春

数列是一个定义在正整数集(或其子集)上的特殊函数，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识.因此我们在解决数列问题时，可以从它的源头、本质——函数的角度去解决它，充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，比如数列的放缩、单调性可以借助函数的单调性方法放缩、判断，数列的最大(小)项可以利用函数图像的直观性来比较，从而有效地解决数列不等式问题.下面笔者通过具体的例子尝试从函数的角度处理数列不等式问题，希望对考生处理数列问题有些许帮助.

一、函数单调性处理数列递推问题

数列和的不等式问题的矛盾在于数列相邻两项的递推关系的发现，有时候从函数单调性角度去入手则事半功倍.

③综上所述，该命题对所有的正整数n都成立.

(1)(2)证明略.

二、函数恒成立处理数列有界性、求和问题

找到数列任意两项之间的关系，再分离变量转化成函数恒成立问题是解决数列有界性的关键．

例3 (2016年浙江理20)设数列{an}满足

(1)证明：|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*；

|an|-2≥(|a1|-2)·2n-1，所以|an|≥

2n-1(|a1|-2),n∈N*.

例4 已知数列{an}的前n项和Sn，满足an+Sn=1.

(1)求数列{an}的通项公式；

例5 已知数列{an}的前n项和Sn，满足an+Sn=1.

(1)求数列{an}的通项公式；

三、函数图像处理数列最值问题

函数图像的直观性可以为我们解决数列的最值问题带来很多方便.

例6 (2012年浙江理7)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( ).

A.若d<0，则数列{Sn}有最大项

B.若数列{Sn}有最大项，则d<0

C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn>0

D.若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列

A.a1，a30B.a1，a9C.a10，a9D.a10，a30