等轴双曲线的一个优美性质——从一道高三模拟试题谈起

魏国兵 (江苏省南京市溧水区教育局教学研究室 211200)

王芬芬 (江苏省溧水高级中学 211200)

1 试题呈现

(1)求双曲线C的方程;

(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于l1,且交双曲线C于M,N两点,求证:△AMN的垂心在双曲线C上．

2 解法探究

又因为AH⊥MN,所以H为△AMN的垂心．因为H在双曲线C上,所以△AMN的垂心在双曲线C上．

3 问题溯源

本题第(2)题的背景是等轴双曲线的一个优美性质:设A,B,C是等轴双曲线E上的三个点,则△ABC的垂心H也在双曲线E上．为了给出这个性质的初等证明,先证明两个常用的结论:

证明AB,CD斜率不存在的情形显然成立.

若A,B,C,D四点共圆,即曲线系方程为圆方程,则必有k1+k2=0．

综上,结论1成立．

说明此结论对于椭圆及抛物线都是成立的．

证明 设A(x1,y1),C(x2,y2),则B的坐标为(-x1,-y1),所以

说明椭圆也有类似的性质．

下面给出等轴双曲线优美性质的证明．

由A′,B,C,D四点共圆,根据结论1有kA′C+kBD=0,再由结论2有kA′CkAC=1,故kACkBD= -1,即AC⊥BD．从而D为△ABC的垂心,即△ABC的垂心在双曲线E上．

说明此证明中没有考虑斜率不存在的情形(显然成立)．另外还可将等轴双曲线进行旋转变换,转化成反比例函数来证明,但对于高中学生而言不太合适[1]．本文先利用曲线系方程证明了双曲线上四点共圆的充要条件及一个常用结论,然后构图进行证明,方法巧妙简洁．

4 命题反思

此道试题由笔者命制并提供,全市的平均得分为4分左右,特别是第(2)题有较好的区分度．问题较为新颖,且有一定的思维量,考查学生的基础知识与基本技能,体现了解析几何的基本思想,教师们对该题的评价较高．

笔者命题时就以等轴双曲线的这条优美性质为来源,采用特殊化的思想进行改编．考虑到高中学生不适合直接证明此性质(常规方法运算量非常大),因此将三个点固定一个(双曲线顶点A),让M,N为动点(即一条动直线),但此时的运算量依旧很大,作为考题还是不适合,所以考虑让动直线MN定方向或过定点．权衡之后,最终确定让直线MN定方向(斜率不变),因为此时△AMN的一条高所在直线方程就确定了,可以求出它与双曲线的交点,问题化归为只要证明此交点为垂心即可．

从学生答题情况来看,大多数学生试图求出两条高的交点,但运算非常复杂、参数多,最后基本上都做不下去．只有部分学生能够变换思维方式:求一条高与双曲线的交点,证明此交点即为垂心,从而顺利解决问题．