项目式教学法在初中二次函数教学中的应用

◎ 李 怡

在传统的灌输式教学中，学生的知识理解和思维过程几乎被固化限定，学生只能够按照教师指明的方向进行学习和思考，缺乏自主性，不能够体现学生的主体地位，这对于发展学生的创新思维是非常不利的。在“双减”背景下，教师的课堂教学必须增效减负，让其在日常教学中朝着高效、高质量的方向发展。因此，笔者尝试采用项目式教学法对初中二次函数应用教学进行探究。

一、项目式教学的内涵和优势

项目式教学是指在教师的指导下，以学生为中心，通过完成一个完整的实践性项目而进行的教学活动。实施过程包括项目选择、制订方案和计划、探究实践、交流分享和反馈评价五个环节。项目式教学从问题出发引导学生自主开展知识学习和实践应用，自主进行学习探究，让学生从不同的角度进行思考和尝试，促进思维发散，深化知识掌握以及锻炼思维能力。

以初中数学教学中的二次函数应用为例，这部分知识综合了函数概念、函数表示方法、二次方程、函数图像等多方面的内容，对于学生的思维能力有着较高的要求。学生不仅要有全新的代数计算思维，还要有数形结合思想，涉及二次函数的实际应用还需要学生具备一定的建模思维能力。传统的教学方法对于学生的数学知识体系构建以及发展思维能力都存在一定的限制，学生的自主探究意识，更多的是停留在二次函数图像相关知识的迁移运用方面，而不能够从整体建模的角度去思考，并结合实际情况形成数学模型解决同类问题。项目式教学可以在课堂上加强学生对二次函数实际应用的自主探究，发展学生的函数思维能力，让学生能够真正体会到思维方法在解决实际应用问题过程中发挥的作用，有效地促进学生的理解与表达。同时，项目式教学为教师的教学工作也提供了新的、有效的路径，能够多方面提升学生的知识理解掌握程度，发展学生的数学思维。

二、项目式教学在二次函数中的应用探究

（一）项目选择原则

在项目式教学中，教师要多联系学生的生活实际，利用学生在生活中见过、理解、熟悉的事物展开教学，一方面能利用学生熟悉的事物消除知识迁移运用的陌生感，降低学生知识实践运用的难度；另一方面能让学生将知识和现实生活经验联系在一起，结合生活常识和见闻寻找更多的信息和数据，展开项目的学习和探究。教师以引导学生的研究方向和思路为主旨设计项目问题，通过“抛砖引玉”的方式打开学生的思路，激活学生的思维，引导学生展开自主探究，因此项目的设计要贴近学生的实际生活，将一些“未知”条件隐藏在生活常识当中，让学生能够通过回想生活细节、寻找相关资料等方式，发现这些条件，并找到解决问题的方法。

（二）项目内容和实施计划

利用构造法解决二次函数的应用问题是初中数学教学中的一个重要思维方法，也是深化学生二次函数理解、提升知识运用的重要路径。构造法渗透了一定的数学建模思维，非常契合项目式教学。笔者在项目式教学的大框架下，围绕二次函数在建筑应用方面的构造法选择了“货轮过桥问题”这一研究项目。此项目结合了学生的生活常识，易将项目问题和二次函数图像联系在一起进行探究，确定研究方向。本项目内容具体如下。

图1 是永州赵州桥的侧面示意图，现有一货轮最宽处16m。船长定于7 月中旬过桥洞，提前查阅了赵州桥的水文情况，如表1 所示。请制订货轮装货方案以保障货轮安全通过。

图1 赵州桥示意图

表1 赵州桥水文情况

本项目制定的目标如下。

（1）通过资料的搜集、记录、整理和分析，确定研究方向。根据项目问题中的数据和条件，结合二次函数图像与性质，建立适当的坐标系确定二次函数解析式。

（2）利用数形结合思想，将货轮的条件、桥洞的数学表达式相结合，形成问题模型，找到需要控制的变量以及变量发生变化产生的影响，找到解决项目问题的正确方法。

（3）通过小组合作交流，增强合作学习的能力。

在此之前笔者所执教班级的35 名学生已经储备了二次函数的性质和图像特征等基础知识，在平时的学习中已经形成良好的合作精神和氛围。因此，笔者可以充分发挥合作的优势，兼顾学习能力不同的学生，提高课堂效率，把学生分为7 个项目探究小组，以小组合作的方式展开项目式教学，共同完成项目的探究，增强学生交流合作的能力。

（三）项目探究实践与交流分享

1. 入项活动

（1）活动内容和模式。根据材料中赵州桥的建筑信息、水文情况记录、桥洞宽和拱高等信息，确定研究对象，制订货轮过桥计划，培养学生从资料中提取关键信息的能力。各探究小组明确项目目标、任务和成果，制定评价量规及评价方案，各司其职。

（2）引导问题：假如你是货轮的船长，你从材料中可以得出哪些货轮过桥的有效信息？从安全的角度考虑，你有什么好的建议？

在入项活动中，部分学生不太适应这种“没有束缚”的学习过程，一时不知道如何下手，因此教师一定要给学生足够时间探究，学生会随着项目活动的深入开展以及与小组同学的合作交流，迅速适应这种自主性的探究学习活动，并能够在同伴的帮助下进行独立思考、发现问题并解决问题。教师在教学过程中要起到引导和帮助的作用，为学生提供必要的学习资料支持，比如介绍拱桥的一些基本力学原理和桥拱的形状特点，介绍拱宽、最高点等一些基本的概念，引导学生结合生活常识，找到项目探究的正确方向和思路。如果个别学习能力弱的学生对于项目要研究什么仍然存在疑问，教师可以个别辅导启发，帮助他们走出困境。

2.项目探究活动一

（1）活动内容和模式。设计合适的平面直角坐标系，对相关数据进行分析并整理，确定二次函数解析式，讨论不同的坐标系确定的二次函数解析式有何不同。

（2）引导问题：同一个桥洞得出不同解析式的原因是什么？哪种解析式最优？

笔者对35 名学生关于项目探究活动一的完成情况进行调查，结果具体见表2。

表2 项目探究活动一完成情况调查

学生能够初步展开联想和想象，将桥洞的形状和二次函数相联系。学生在构建坐标系时确定横轴、纵轴存在多种情况，其中大部分学生能够找到最佳的坐标系构建模型。虽然其他形式的坐标系也能够顺利解决项目问题，但是在计算量和解决问题方面难度更大，不利于项目问题解决。7 个项目探究小组关于坐标系的绘制情况如表3 所示。

表3 学生小组坐标系绘制情况

教师发现学生在构建坐标系时，确定横轴、纵轴存在多种情况，虽然大多数学生能迅速找到最佳坐标系构建模型，但部分学生仍然建立了不利于项目问题解决的坐标系，在这个过程中，通过小组的合作交流解决问题固然重要，但小组代表能够给全班学生分享组内典型性错误或组员走过的弯路更加重要。同时教师还可以从二次函数图像的性质出发，“套用”实际物体的形状，从建模的角度出发，提高学生对坐标的数值变化、抛物线的角度变化等信息的敏感程度，把握构建模型、解决问题的要点，发散思维，培养创新思维能力。

3. 项目探究活动二

（1）活动内容和模式。通过活动一中的二次函数解析式，确定数学模型，讨论变量的取值及相应的函数值。

（2）引导问题：假如你是船长，变换货轮的什么条件既能多装载货物又能安全过桥？在一年中哪几个月货轮运载量最大且可以安全过桥？为什么？

由组长带领小组成员进行问题模型的归纳，可以从“学到了什么”“想到了什么”“体会到了什么”“还想学什么”四个方面进行归纳，小组成员各自阐述自己的观点，探究最佳解决方案。

在活动二中，笔者将二次函数图像和项目问题联系在一起，让学生结合生活经验进行项目探究，确定研究方向。再根据项目中的数据和条件，确定合适的坐标系，利用数形结合思想，将货轮的条件和桥洞的数学表达式结合，形成问题模型，找到变量以及变量发生变化产生的影响，最终找到解决项目问题的正确方法。在平时的课堂教学中，教师也应打破传统的教学方式，注重引导学生积极开展知识的实践运用，提高学生灵活应用数学知识的能力和知识迁移运用能力。教师应给予学生足够时间探究，学生经过探究得出的结论都应给予鼓励，即使学生有不切实际的想法也要鼓励学生查找资料进行论证，不能武断地判断学生错误。

4. 项目交流分享

小组代表给全班学生分享组内探究成果时，如果最佳成果与其他小组已展示成果相同，可以展示组内典型错误或组内成员探究过程中走过的弯路，展现小组成员发现问题并解决问题的过程，通过展现“试错”以及“联想”的过程，让其他学生体会到建模思维的具体应用，提高灵活运用知识的能力，拓宽思路。在每个探究小组都有不同层次的学生，因此要营造民主和睦的学习氛围，让学习能力强的学生帮助学习能力弱的学生，尽可能让每个学生都有表达的机会。

（四）项目评价

项目式教学的评价标准以学生为中心，评价的内容除了知识的掌握外，更重要的是能力的提升，评价的方式以表现性评价为主，评价的时机贯穿于项目全过程。本项目中笔者采取档案袋评价法。档案袋评价法是指学生本人把参与学习活动的各种资料收集起来，反映自己的学习和发展历程（见表4）。项目评价可以提高学生的学习兴趣，促进学生学习的自觉性，培养学生自主学习、分析和解决问题、团队协作的能力。教师通过项目过程与结果的评价，能正确掌握学生对该项目的完成情况。

表4 学生项目档案袋中应包含成果

三、教学反思

通过对这一项目的教学探究，笔者有以下三个方面的思考。

第一，在教学过程中，教师适时引导学生回顾和反思是非常重要的，回顾模型构建的时候，要充分展现模型思维的运用过程，不能够给学生一种“本来如此”的思维跳跃感。比如拱桥的桥洞为什么能够放入坐标系当中，为什么呈现出二次函数的特点，不是因为教师本来就知道，而是应该通过拱桥的受力特点，通过坐标选取和验证得到桥洞的形状是二次函数图像。这样的教学更具有逻辑性以及合理性，更能够拓展学生的思维能力。

第二，在项目探究活动中，学生的建模思维能力有待提高。大多数学生仅从二次函数的知识点角度看待项目中的问题，只是把图像相关知识进行迁移运用，而不是从整体建模的角度出发去思考构建数学模型，结合实际情况形成数学模型解决同类问题，尤其是在变量改变时，学生不能够依照之前的经验进行合理的抽象和建模，在解决问题的过程中走了很多“弯路”，他们更多是寻找特解，而不是形成模型解决所有遇到的问题。

第三，在项目式教学开展的整个过程中，教师要注重发展学生数学学科思维能力，让学生能够真正体会到思维方法在解决问题过程中发挥的作用，要让学生知其然又知其所以然，同时更应该注重对学生独立思考、发现问题以及解决问题能力的培养，充分利用项目式教学的优势，引导学生自主开展知识的深化理解以及迁移运用，让学生在完成项目过程中，从不同的角度看待数学知识，掌握数学技能，实现数学学科能力的综合发展。

在“双减”背景下，教师的课堂教学必须增效减负，转变传统的教学方式。项目式教学主要是通过布置问题探究的学习项目，引导学生自主开展知识学习和实践运用进行的。生活化的项目设计能有效激发学生的探究学习兴趣，提高学生的参与积极性。而提升学生的自主性和学习兴趣，对于发挥学生的主观能动性，提升教学的整体效率、落实政策精神、教学提质增效有着非常积极的意义。项目式教学也给学生提供了更多的自由空间，让学生既能够充分发挥自身的聪明才智学习理解数学知识，又能够在参与过程中获得成就感，体会到成功的喜悦，有助于发展学生的自主探究学习能力。