初中几何习题的可视化讲评策略初探

◎ 陈 冕

一、初中几何学习的基本特点

初中数学由数与运算、方程与代数、图形与几何、函数与分析、概率与统计五大部分组成，其中平面几何内容约占整个初中数学的40%。几何注重逻辑思维，对培养学生的空间想象能力、形象与抽象思维能力均十分重要。《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》对学生的逻辑推理等能力提出如下要求：能从数学的角度有条理地思考问题；能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；掌握文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转换，能正确而简明地表述推理过程，合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性。［1］基于一定的教学经验，笔者认为，学生在平面几何内容的学习中主要的困难有：无法清晰、有条理地表达自己的思考过程，在运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑方面有欠缺，具体表现在解决几何证明及几何背景下的综合性问题时会遭遇较多障碍。

二、初中几何习题讲评课存在的典型问题

一般而言，相较于新授课，习题讲评课中教师只关注这份练习是否能讲完，自己的讲解是否到位。而学生以听为主，呈单向接收的特征，结果在课堂上似乎一时听得明白，但是课后解决具体问题时依然困难重重。特别对于平面几何习题的课堂讲评，很多教师希望在课堂上与学生能更多地开展互动。然而，在具体实践过程中，教师往往对问题的设计缺乏深入思考，并没有真正激发学生的高层次思维。

还有一些几何习题的课堂讲评，教师虽然比较注重对几何习题方法的分析与指导，但在分析过程中，更多只是口头表述，板书内容也只是证明的推理步骤，这对于一些几何学习存在困难的学生来说还是不够的。而且，有些课堂上，教师虽然展示了完整的证明步骤，但对于如何形成推理路径、如何形成不同思路等无法兼顾，这也降低了几何习题讲评课的效率。

三、开展几何习题可视化讲评策略研究的要点

习题讲评从广义上讲是指对章节、专题教学后设置的问题进行讲解和点评的教学形态；从狭义上讲是指练习完成后对习题进行“讲”与“评”的教学形态。具体来说就是通过统计分析错误率较高的习题并进行分类，了解学生知识的掌握情况，反馈教学效果，进而采取有效措施帮助学生梳理、归纳知识，教会学生分析与解决问题的方法，达到解一题会一类的目的。习题讲评课具有诊断、演示、深化和激励四种功能，是数学教学中重要的、不可或缺的一种课型。本文中的几何习题讲评课是指初中平面几何新授课完成后，教师布置配套几何练习中相应的习题，批阅后进行的习题讲评。

在初中几何习题讲评课中引入可视化工具，有利于教师和学生将习题的思维过程可视化地展现出来，有助于呈现思维过程中的“卡点”（即思维障碍点），暴露出思维过程中的障碍问题。还有助于并联地呈现学生不同的思考方法，从而帮助学生理解问题、解决问题，提高习题讲评课的效益，进一步提升学生的思维品质。

著名数学家阿蒂亚指出，“几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位……几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高素养”。［2］相关研究也表明，思维导图等可视化工具助力下的数学，可以减少学生认知负担，帮助他们更好地从直觉思维向逻辑思维过渡，通过推理论证的训练更好地发展严谨的推理能力及逻辑思维能力。

几何习题讲评课的重要功能是让学生准确把握解题突破口、理清步骤及方法，更深层次地理解几何基本知识及关联性，从而实现自身能够运用解题方法技巧独立解决问题。在讲评中要充分发挥学生的主观能动性，调动学生的积极性。

（一）突出重点

在评讲一份几何练习时，有些习题只要点到为止，有些习题则需要深入剖析，甚至要举一反三，及时地进行变式与延伸。对学生错误率较高的习题，对涉及重、难点知识及能力要求较高的习题，教师要重点强调，突出分析方法，达到“讲一道会一类”的效果。

（二）把握学情

学情是指学生在学习某一内容时已有的知识结构和学习时的个性差异。而习题讲评课中的学情更具体地表现为学生在解答完习题后所呈现出的答题情况以及暴露出的真实的、典型的问题。只有在讲评前充分了解了学情，才能有针对性地进行教学设计和有效地开展教学活动。因此，教师在开展讲评之前要梳理学生习题的错误，对错因进行归类。此外，还要对不同问题发生的占比进行数据汇总。以几何证明题为例，完全没有思路的学生有多少，有部分思路的学生卡在了哪一步，全对的学生在方法上是否有异同等。

（三）引导反思

习题讲评后，教师要引导学生及时回顾习题的分析过程，反思这道题的思考路径，反思思维卡点。对于有多种证明思路的几何题，总结不同解法的特点，对比操作程序的差异，反思更优化的方法。教师引导学生透过现象看本质，不要满足于一道题目的解决，对于典型的分析方法和结论可以有意识地记忆，提高变通能力和迁移能力。

四、初中几何习题的可视化讲评策略

（一）溯源基本图形，呈现思考路径

基于可视化工具的几何习题讲评，可以有效实现文字语言、符号语言、图形语言的转化，在读题时把题目中的条件标在图形中，并用符号语言并列地列举出来，对于待证的结论也列举出来。例如，由条件可以得出哪些结论，或待证的结论需要什么条件，思维导图等可以淋漓尽致地呈现“由因导果、执果索因”的可视化思维过程。对于图形较复杂的题目，很多学生无法辨别其中的基本图形，可以把基本图形剥离出来，结合思维导图梳理出思考路径。

例1如图1 所 示，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，联结DG并延长交AE于点F，∠BGD=∠BAD=∠C。

（1）求证：BD·BC=BG·BE；

图1

（2）如果∠BAC=90°，求证：AG⊥BE。

此题的第一问很简单，只需由条件中的∠BGD=∠C及公共角∠GBD=∠CBE来证明△BGD∽△BCE，然后得出再转化为等积式BD·BC=BG·BE即可。

在证第二问时，把角相等的条件在图形中标注好后，可以很容易发现几对相似的三角形，把已得的结论和待证的结论结合起来，问题就化归到如图2 所示的三个基本图形中去解决。

上述几个图形都是学生很熟悉的基本图形。其中图2（a）和图2（b）是母子三角形，图2（c）是8 字形中的翻折对应相似。题目中的图形看起来较复杂，本质是这三个基本图形有机地结合在一起而已。于是，溯源基本图形后，运用思维导图梳理出思考路径，将复杂问题简单化，学生更容易理解与掌握。

图2

（二）加强细节评析，精准定位问题

在几何习题讲评中，教师要针对错误率较高的题目进行重点讲评，于是在讲评前肯定要对学生的错误类型和错误原因进行统计。在绘制思维流程图后，教师把学生在几何证明过程中出现的不同证明思路和相关证明的得分点先进行分类编码，再批阅评分，最后将所得分数进行归类整理，从而了解具体学情。在笔者上过的一节几何练习讲评课“一类图形旋转的问题研究”中，有这样一道练习题：

例2如图3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，求点A、E之间的距离。

图3

对于这道题目，绘制了如下的思维流程图（见图4）和评分代码（见表1）。

图4

表1 评分代码

在这道题中，先计算有关△ABC元素并标在图形中。在图中清晰地呈现这道题的思维路径，强调由旋转得到等腰三角形，进而产生相似三角形这一重要思路，凸显出两种三角形在这一类旋转问题中的关键作用。结合统计数据的精细分析，该图呈现的可视化思维路径，能帮助教师在全班讲评时指导失分的学生反思思维障碍点究竟在哪里，如何去寻求突破。同时帮助教师对“同分不同错，同分不同意”的情况能更加细致地分类，精准地定位出学生在几何题中的问题。为课堂中有效的师生对话、生生互动提供支持，大大地提高了几何习题讲评效率。

（三）梳理知识结构，提炼解决路径

在几何习题讲评课中，很多综合性的问题是学生比较薄弱的。如几何背景下的综合问题研究、函数背景下的几何问题研究等。这类问题比较灵活，综合性较强，学生不容易解决。因此，教师在讲评时更需要帮助学生理清研究内容，提炼这类问题的解决路径，思维流程图和结构图在其中起到了关键的作用。以“二次函数中的三角形问题”的研究讲评课为例，这节课以问题链的形式展开，循序渐进，问题如下。

问题一：上述抛物线中，以点A、B、C、D中的任意三点为顶点构造的三角形中,你能求出哪些三角形的面积？

问题二：上述抛物线中，以点A、B、C、D中的任意三点为顶点构造的三角形中有直角三角形吗?有等腰三角形吗？请说明理由。

问题三：上述抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

问题四：点P在上述抛物线上移动，△PAC能否成为以AC为一条直角边的直角三角形？若能，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

问题五：你还能提出与三角形有关的问题并尝试解决吗？

问题六：函数背景的综合题除了三角形问题研究外，还可以研究四边形的存在问题，请提出一个问题并尝试解决。

课堂中，教师针对问题一、二、三、四进行讲评交流，将问题五和六作为课后延伸拓展。其中，重点交流的是问题二、三、四，具体题目的解决过程这里不再赘述。在讲评中，教师着重边评讲边总结，用思维流程图来梳理研究内容的框架，如图5 所示。这样有利于学生更全面地把握结构，并在后续的学习中可以把研究的方法思路进行迁移。

图5

另外，在问题链中，不论题设怎样变，所求的问题归根结底都是在求点的坐标。不管是研究等腰三角形还是直角三角形，问题的本质都化归为求点的坐标问题。因此，我们可以用图总结点的坐标这类题的思考方法，提炼这一类问题的思考路径，如图6 所示。

综上所述，在几何专题复习的讲评中，在引导学生反思和总结中，可视化工具的运用起到了画龙点睛的作用。它的价值不仅是对一道题思路上的可视化呈现，更重要的是对一类问题的思考路径进行梳理，提炼基本方法，切实地提高学生解决问题的能力。

图6

五、反思与展望

总体来说，在开展初中几何习题可视化讲评策略研究中，思维流程图或知识结构图为学生理解解题思路提供了可视化的工具，直观地呈现出解题思路和方法，利于学生吸收与理解。更重要的是学生运用可视化工具的过程就是思考、联想、提炼、总结的过程。以习题课为载体，这些流程图或结构图不仅能有效地答疑解惑、提高习题讲评的效益，还有助于学生逻辑思维和发散思维的培养。习题讲评课是数学常见课型，如何将可视化工具与习题讲评更好地结合，还需要教师在今后的教学中不断研究和改进。