三角形分类教学中培养学生平面几何理性思考能力的实践研究

姜霄虹

三角形分类教学中培养学生平面几何理性思考能力的实践研究

姜霄虹

以“三角形分类（1）”一课为例，探索如何在平面几何图形教学中提高学生发现特征的能力、对特点间关系的思考能力，以及根据特点的逻辑表征能力；利用“先示范后模仿”的教学形式，既使学生学到了三类三角形的定义以及如何辨别三类三角形，又发展了学生学习平面几何的三种重要能力即发现能力、思考能力以及逻辑表征能力。

三角形分类 发现能力 思考能力 逻辑表征能力

一、 教学的理性思考

“三角形的分类（1）”是沪教版数学第四册“几何小实践”单元中的教学内容。通过这节课的学习，学生知道锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义，并且学会按角的组成特点将三角形分为三类。

三角形是重要的平面几何图形研究对象之一。比起长方形和正方形，探究三角形的特征对学生的要求更高。因为长方形和正方形都为四个直角，角的大小是固定的；而三角形的三个内角大小是不固定的，其中两个是锐角，第三个角却是动态的，它可以是锐角、钝角，也可以是直角。学生要能够发现三角形的与众不同之处，就需要对平面图形的特征有较强的发现能力。同时，学生还要能根据角的特征将三角形分成三类，需要其具有较强的根据图形间的特点进行有效思考的能力。最后，根据三角形的特征进行命名，并且分别给三类三角形下定义，即三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，需要学生拥有较好的逻辑表征能力。

以上能力也是研究其他平面几何图形特点的基石，为学生学习更复杂的平面几何图形打下扎实的基础。因此在“三角形分类（1）”一课中，教师应探究如何提高学生发现平面几何图形特征的能力、对特点间关系的思考能力，以及根据特点进行逻辑表征的能力。

二、对“三角形分类（1）”的实践探索

学习“三角形的分类（1）”前，学生已认识了锐角、直角和钝角的概念，积累了以图形边的条数或角的个数作为标准的分类经验后，此课将通过抓住三角形中角的特点，进一步划分三角形。

（一）激活图形分类经验，引出课题

教学片段1

师：图1是小兔留下的图形，小朋友你能按图形的特点分一分吗？两人互相交流。

图1

生：1，2，3，4，5，6，7分成一组，因为都是三角形；9，10，12分成一组，因为都是四边形；8，11分成一组，都是五边形。

师：同意的小朋友点点头。我们来看看小兔朱迪怎么分？它和你们是一样的。

师：左边框里都是四边形，它们有什么特点？

生：四边形有四条边，四个角。

师：那么五边形呢？三角形呢？我们按照图形角的个数、边的条数来分一分，那么同一类图形，比如这些三角形，可以再分一分吗？今天我们来学习三角形的分类。

师：有了分一分黑板上图形的经验与方法，你认为三角形的分类可以按什么来分？

生：三角形能不能按大小分？

生：三角形能不能按边分？

生：三角形能不能按角分？

师：今天我们先按角的特点来分一分三角形。首先复习有关角的知识，你能运用学过的本领把这些角送回家吗？请大家独立完成连一连（见图2）。

图2

在此教学环节中，教师出示了12个平面图形，其中有三角形、四边形和五边形，要求学生分一分，意在激活学生已有的分类经验，以图形的边和角作为要素，以此为分类标准进行分类。

学生在分类的过程中，从具体的图形入手，明确了各种平面图形的要素是边和角，也唤醒了以边的条数、角的个数等要素特点作为分类标准的分类经验。既然图形的分类是按角的个数和边的条数不同为标准，同样由三个角组成的三角形是否也能以角的类型不同分一分？因此在教授新课前，教师有针对性地复习相关角的概念，既激活了学生对相关概念的记忆，也唤醒了学生的分类经验，渗透了类比的数学思想，作为后续三角形分类的迁移经验的铺垫。

另外，在明确图形的分类主要是以边和角作为依据后，在讨论分类的标准时，教师通过提供问题框架，引导学生提出“三角形能不能按大小分？”“三角形能不能按边分？”和“三角形能不能按角分？”三种想法，培养其发散性思维和逻辑思维，建立平面几何图形的一般思考方法。

（二）同中求异找出分类特征，对三类三角形下定义

1. 寻找类特征，进行分类

教学片段2

师：注意黑板上的三角形（见图3），它们的角是什么角，你知道吗？请同学们自行标注一下。

图3

师：大家都找到每个三角形中角的特点，根据这些特点，两人合作，分一分三角形的类型。

生：三角形可以分成三类：1,5一类，因为它们都有一个直角和两个锐角；3,6一类，它们都有一个钝角和两个锐角；2,4,7分为一类，它们都有三个锐角。

师：和前两类不同，你发现最后一类三角形中三个角都是锐角。

在上一环节中，教师激活了学生已有的锐角、直角、钝角的概念，以及对三角形和多边形分类的经验，在此环节则侧重于将角的概念与三角形分类建立联系。教师可以设计教学活动使学生在量一量、做标记的过程中，对三角形的角用图形进行编码，根据每个三角形三个角不同的组成情况进行分类。在此环节中，首先，学生不受三个内角的大小影响，在同一个三角形中根据角的大小情况，把三个角分类，并且概括了三角形是由哪些角组成，发展了自身对平面几何图形特征的发现能力。其次，学生认为这些三角形根据其角的组成情况可以分成三类，分别是三个角都是锐角的三角形，有两个锐角、一个钝角的三角形和有两个锐角、一个直角的三角形。在第二次找特征的过程中，学生从在一个三角形找特征到在多个三角形中找共同特征，并且通过比较各个三角形中角的组成情况，概括出三角形的类特征，对图形的特点进行有效思考。

2. 归纳特征，给三角形“取名字”

教学片段3

师：根据三角形角的特点，你们把它们分成三类。那你能给它们分别起个名字吗？

生：第一类是直角三角形。

师：第一类三角形除了一个直角，明明还有两个锐角，为什么要叫直角三角形呢？

生：因为其他三角形也有两个锐角，而直角只有第一类三角形才有。

师：有了这个经验，第二类三角形叫作什么？第三类呢？

生：钝角三角形，第三类叫锐角三角形。

师：在数学史上，给三角形分类时，和你们一样，经历了找一找、分一分，最后根据它们的特点给三角形们起了名字，接下来请大家把书翻到第56页，一边读一边比一比，前人找到的特点是什么？和你们哪里不同？

师：小朋友你能把刚才分类起名字的过程总结成小经验吗？

在“取名字”的环节中，学生能在交流讨论、正确与错误的碰撞过程中，挑选出每一类三角形的独有特点，对把握三类三角形特征起着关键的作用。

然而，在描述钝角三角形、直角三角形的定义时，学生仍旧用“有两个锐角和一个钝角的三角形是钝角三角形；有两个锐角和一个直角的三角形是直角三角形”定义两类三角形。通过看书反思，学生回溯之前自己的定义，在比较的过程中，不仅再一次强化三类三角形的特点，也对数学简洁精准的语言有了新的认识与感受，在今后的数学学习中能优化自己的语言表述，使语言更加简洁且精准，促进了学生的逻辑表征能力的发展。

（三）同中求异，在一类中定量揭示角的特点，铺垫后续学习

教学片段4

师：在锐角三角形中，仔细观察，比一比图3中2号三角形三个角的大小，你认为左下角和右下角大小关系怎么样？有没有办法证明呢？

生：把三角形对折，两个角大小相等。

师：那么上面的角和它们相比呢？请操作，你会发现什么？

生：三个角大小都相等。

师：那么还有两个三角形的三个角的大小又有怎样的关系？

生：7号三角形有两个角相等，4号三角形三个角都不相等。

师：锐角三角形按照角的大小还能再分成三种，这是我们以后进一步研究的知识。那么钝角三角形、直角三角形呢？挑选一类三角形，两人商量一下，也像老师一样验证一下。

（学生独立进行探究活动）

师：不管是直角三角形、钝角三角形，还是锐角三角形，都有两个角相等或者三个角都不相等的情况，而锐角三角形还有三个角都相等的特殊情况。三年级时，这些发现将帮助我们继续学习关于三角形另一部分重要的知识。

经过了按角分类三角形的过程，学生初步感知了在同一种图形中可以继续分类。本环节引导学生思考在同一类三角形（即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）中也存在异同。教师以锐角三角形为例，引导学生以角的大小作为特点来观察。学生通过观察、比较、操作，发现锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都有两个角相等和三个角都不相等的情况，并且锐角三角形还有三个角全相等的情况。在操作的过程中，激活了学生直接比较和间接比较的活动经验，即通过对折发现两个角是否相等，通过等量推断得知三个角都相等，培养了学生的定量思考能力，

三、 总结与反思

（一） 找类特征的同时发展学生的学习能力

通过对“三角形的分类”这一内容的理解、设计、实践、反思，笔者对此类课有了更多的认识。相对于传统教学，即以“先示范、后模仿”作为教学方式，本教学设计通过放手让学生量一量、想一想，放慢教学节奏，提供充足的时间给学生感悟，寻找并概括出类特征。此过程发展了学生对平面几何图形的认识能力；他们能够根据不同三角形角的不同组成情况分类，概括出类特征，发展了学生联系图形特点间的关系，并进行有效思考的能力；通过给三类三角形命名并说理的过程，发展了学生的逻辑表征能力。

（二）提出一些改进的想法

（1）在培养思考力的同时，适当引入智能化手段，运用现代科学技术，使三角形分类更加形象化，更加直观，易于学生理解。

（2）本节课教师对学生分类思考过程的了解，仅仅局限于个别回答了问题的学生，而对了解其他学生是如何思考的，如何评价每个学生的思考过程，仍然需要探索。此外，教师还可以组织学生评价哪种思考路径更加合理，引导其反思、总结自己的思考过程。

在今后的教学实践中，笔者也会不断尝试，以期以理解数学、理解学生为基准，选取恰当的教学内容，通过提出启发性问题，放手让学生探究，感悟数学知识，获得更多学习经验。

姜霄虹 上海市第一师范学校附属小学 200233