“数学建模”中的创新型教学实践与探索

范馨月

（贵州大学 数学与统计学院，贵州 贵阳 550025）

引言

在国家“四新战略”与地方大数据发展战略的背景下，要支撑地方高速发展，需要在本地培养大量创新型人才。综观科学发展历史及国家与地区的发展沿革，基础科学的发展直接或间接地推动了科学技术的发展，并支撑了国家、地区的可持续发展，而数学作为基础科学的核心，在创新型人才培养中的作用极为重要。因此，提升大学生数学应用能力、培养创新型人才已成为高校数学教师的首要教学目标。

在近些年的教学过程中，让学生直接面对实际问题困难重重，暴露出传统的大学数学教学存在着诸多问题，主要有以下几方面：（1）理论教学与知识应用相分离，表现为教“书本”脱离“实践”。（2）知识传授与能力培养相脱节，表现为注重“知”疏于“识”。（3）教学创新路径不清，表现为“重”方法模式“轻”学生发展关照。这些问题致使部分学生对数学既学不好，也用不好，严重阻碍了创新型人才的培养。

为解决这些问题，需要积极开展数学课程建设实践探索，以培养创新型人才为目标、立德树人为根本任务，围绕创新能力导向、教学资源融合、数学课程建设、学习能力转化，及时更新课堂教学理念，创新课堂教学方法，改革课程考核方式，切实提高本科人才培养质量。

数学建模是相关专业教学计划中与数学应用紧密接触的学科，已深入经济学、自然科学与社会科学等各个领域，建立在数学分析、高等代数、概率统计、数值分析、计算机技术等理论知识的基础上，为解决实际问题打下了坚实的基础。课程的主要任务是让学生掌握以下知识和技能目标：（1）训练学生针对实际问题进行分析、建模的能力。（2）掌握数学建模的基本思想和方法，培养学生把实际问题化为具体数学模型的建模思维。（3）选用适当的数值方法并在计算机上实现编程的能力。（4）训练学生对数值计算结果进行解读与必要的分析能力。（5）锻炼学生的计算思维、算法思维、建模思维能力，理解算法的构造思想，体会重要的科学和技术问题的算法构造思想。近年来，数学建模竞赛在创新人才培养中起到积极的推动作用［1-2］，数学建模作为应用数学解决现实问题的思想和方法，是科学育人和创新人才培养的有效载体［3］，是学生科研能力提升的催化剂［4］。同时，数学建模思想已渗入初高中的数学教学和实践任务中［5］。

一、创新性教学目标及教学内容

（一）课程教学理念及目标

“数学建模”课程遵循启发引导、目标协同、动力支持、学以致用等方面多维并进的原则，注重理论联系实际，将思政元素有机地融入课程设计中，多种教学方法和手段灵活应用，形成“以人为本，集知识传授、能力培养、价值塑造于一体”的教学理念。构建“数学建模”课程的创新教学体系，制订适应新时代的人才培养方案，在教学设计中倡导科教融合，切实提高学生的数学思维能力、数学应用能力、创新实践能力，从而推动课程从知识体系为主逐步向知识体系与能力体系相融合，最终达到培养一流人才的目标，具体目标如下。

1.坚持立德树人，切实开展课程思政建设。在课程的教学内容中渗入思政元素，把社会主义核心价值观融入课堂教学中，引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观，实现课程与思政元素的有机结合，做到教书育人润物无声。

2.学以致用，做好课程的教学设计。本着“以学生发展为中心”的原则，按照“金课”“两性一度”的要求，更新教学理念，挖掘课程内容的深度和广度，以加深学生对本课程内容的理解，激发学生的科学钻研精神，培养学生的创新意识。

3.崇尚实践，丰富课堂教学手段。借助团队社会实践及合作单位实际问题，增加教学实践环节，为学生提供丰富的实践素材。

4.科学评价，完善教学评价体系。针对不同层次和专业的学生，实施个性化评价标准，强调学生自评的重要性，注重过程评价的及时分析和实时反馈，促进教师教学内容的调整和学生知识的巩固，增强师生之间、生生之间的情感互动。

（二）课程教学内容

“数学建模”课程是各个学科领域中将理论知识应用于实践工作的能力体现。一个是建模的能力，它是学科领域知识和专业理论知识应用的能力；另一个是求解模型的能力，它是数学建模的重要环节。

在建模能力的教学中侧重如下三个方面：（1）从初等模型、离散模型入手引出数学建模的全过程，完整介绍数学建模的基本方法和步骤。（2）以经典数学模型入手，讲授优化模型、微分方程模型、概率模型、统计回归模型、博弈模型、图论模型，让学生掌握经典数学模型的建模方法及其特点。（3）引入优秀的建模案例及目前数学建模的新方法，比如蒙特卡洛方法、元胞自动机、神经网络与深度学习方法等。从全国大学生数学建模赛题和合作单位提供的实际数据及问题让学生动手实践，开阔学生的视野并培养学生的建模思维。在求解模型的能力教学中侧重如下三个方面：（1）介绍数据分析方法，包括数据处理、插值、拟合等，为建立数学模型打好基础。（2）介绍求解数学模型的数值方法，包括数值积分、数值微分、常微分方程的求解、线性方程组的数值方法及非线性方程等，培养学生用数学方法解决问题的能力。（3）引入全国大学生数学建模竞赛经典赛题以及合作单位的实际数据，让学生动手建立数学模型并进行求解验证。

在上述教学内容中要围绕“加强基础，强调应用”，着重培养学生分析与解决问题的能力及熟练运用数值方法进行计算的能力，训练学生的逻辑思维能力、推理能力和建模能力。

二、创新性教学实例

数学模型的求解是传统经典数值算法的主要载体，也是新工科的思想工具，为大数据、人工智能领域的主流算法奠定了基础。其核心思想目前应用于科学计算的前沿领域，将课程思政贯穿教学设计和实施的全过程，可以实现创新性、教学形式先进性和互动性、学习结果探究性和个性化的教学［6-7］。

（一）Romberg求积法教学设计思路

积分的计算是具有广泛应用的古典问题，在很多实际问题中，积分的数值计算问题是值得研究的。Newton-Cotes求积公式当n≥8时不稳定，复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长h，h太小则计算量增加，h太大则精度不能满足，如何确定h的值是复化求积公式面临的一个重要问题。Romberg求积法就是利用反复外推得到的精度较高的一种求积方法，可以通过外推技巧提高计算的精度。具体地说，就是在求积过程中将步长逐次折半，反复利用复化求积公式，直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止。Romberg求积法单元课程目标主要包括知识与技能、过程与方法和情感态度三个类别。（1）知识与技能目标：重点理解Romberg求积法的构造思想，掌握Romberg求积法的构造方法和步骤，熟练采用Romberg求积法求解积分问题。（2）过程与方法目标：通过“刘徽神算”理解外推的基本思想方法及Romberg求积法，通过方法的讲解和实例实现相关积分问题的计算，通过Romberg求积法求定积分的近似解。（3）情感态度目标：培养学生的数学思维和计算思维能力，树立正确的世界观、人生观、价值观；可以适时激励、感染、教育学生努力奋斗，攀登科研高峰；在新知识讲解的过程中，不断引导学生分析问题、解决问题，培养学生的思维能力、应用能力和创新能力；通过课堂新知识理论的教学，让学生深刻感悟解决问题的不同方案及其优缺点，培养学生发现问题，利用数学思维思考问题并解决问题的能力，培养学生科学研究和创新创造的精神。

课程教学的逻辑环节采用BOPPPS模型的教学理念进行设计，具体包括情景引入、目标呈现、课前摸底、参与式学习、课内评估和总结提升六个基本环节，以确保课堂教学有更好的效果。（1）情景引入：采取与教学内容密切相关的智能机器人进行引入，帮助学生建立学习动机，通过理论联系实际，启发学生思维。（2）目标呈现：采用高尔顿钉板现场实验的方式引出关键知识点，让学生从总体上了解本节课的学习任务和要求，促进学生在后面各个教学环节里主动围绕目标进行探索。（3）课前摸底：通过提问求积分的传统方法、复化公式的误差等形式引出关键知识点，让学生从总体上了解学习任务和要求，促进学生在后面各个教学环节里主动围绕目标进行探索。（4）参与式学习：通过演绎推导、讨论等策略提出外推法的效果，鼓励学生大胆猜测和交流，利用自由探索和有效互动促进学生更加积极主动地达成课程目标。（5）课内评估：单元知识点讲解完成后，通过观察、提问和互动、解题等形式来检查学生对所学知识点的理解情况，检验学生的学习效果和教学目标是否达成。（6）总结提升：通过重点概念、方法及应用图示回顾知识点，加深学生记忆，最后从规律、方法、应用等方面进行归纳提升。

（二）具体实施方案

以智能机器人切蔬菜做沙拉的场景引发学生学习兴趣，机器人自由曲线运动的位置规划问题的核心技术为求解定积分问题。高阶能力提升，补充目前机器人自由曲线运动位置规划的一般方法为用三次样条插值函数逼近准确函数后，对其求差分的导数近似，代入稳定控制器后为一个优化问题，最优参数的确定便涉及求解多个定积分，将实际智能科技技术分解为学生能够通过学习课程知识点可以达到的目标，激发学生的求知欲和探索精神。

直接推导变步长梯形公式余项得出Romberg求积稍显生硬，很多漂亮的数学公式背后是数学家苦苦探寻得到的，将冰冷的数学公式呈现给学生不利于培养学生的探索精神和创新精神，也并非提升学生学习兴趣的有效手段。我国当代著名计算数学家陈传淼先生在纪念刘徽“割圆术”1 753周年时首次谈对刘徽数学思想的新认识，延续王能超教授破解“割圆术”之谜的发现，揭开了“刘徽神算”的神秘面纱［8］。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，刘徽采用外推的思想计算了3 072边形面积，得到π的近似值3 927/1 250（3.141 6）。“刘徽神算”中的外推思想比Richardson提出外推法早了16个世纪。

在教学时通过数形结合给学生讲述刘徽的方田（图1中的ABEF为“方田”，面积记为Tn），从而得到圆面积S*的区间范围（S2n，S2n+（S2n-Sn）），再逐步导出外推式，在逼近的过程中，圆内接正2n边形面积与正n边形面积的偏差S2n-Sn作为校正量，生成圆面积S*的强近似值，从而舍弃了圆的外切多边形的计算，相比阿基米德的穷竭法显著地节省了计算量，刘徽用192边形和96边形面积进行加工的结果相当于3 072边形的面积，在教学过程中让学生跟着数学家的思维进行发现和探索，感受外推技巧的神奇，弘扬我国数学家不断探索的数学精神。之后，通过推演与学生共同探讨变步长梯形法的计算规律，由复化梯形公式的余项可得

图1 刘徽“割圆术”中的方田ABEF

完全延续“刘徽神算”的外推思想，并验证其为复化Simpson序列Sn。类似的思想得到具有5次代数精度的Newton-Cotes序列以及具有7次代数精度的Romberg序列。

结语

经典算法的构造思想在现代科学算法的构造中起着举足轻重的作用，并且对数学模型的构造方法有一定的创新导向作用。数学是描述世界的一门语言，在这门语言上建立了一套理论体系。华罗庚在和王元院士一起编写的《数学模型选谈》［9］中开门见山地提出了他在多年具体实践中体会到的普及数学方法的三个原则，即“为谁？”“什么技术？”“如何推广？”。基础科学怎样和生产实践紧密而有效地结合起来，这就是数学建模的过程。模型的求解就需要用到现代的数值方法，数值方法为模型服务，最终目标是回答现实问题、解决现实问题。Romberg求积是非常经典的且实用性很强的数值积分方法，其具有精度高、便于程序实现、收敛快等优点，广泛应用于科学工程、人工智能、机电工程学及生物医学领域等，计算机辅助制造依赖于对指定路径上的运动的精确控制。在电影工业中，计算机生成的动画、计算机游戏、虚拟现实应用面临相同的问题［10］。正是面对如此广泛的实际应用问题，如何教才能让学生学会、学懂、学之有兴趣、学之有所用，是值得我们深思的。课程思政并非口号，需要在课堂中自然融入科学研究和创新创造精神，发挥小课堂的大作为——立德树人。