线性代数课程矩阵初等变换应用的几点探究

[摘 要]矩陣初等变换是线性代数课程的基础性内容，文章通过对初等变换的内涵进行解析，分别从矩阵运算、向量组运算和方程组求解三个方面探究矩阵初等变换的应用，并结合实例对其应用过程进行分析。

[关键词]初等变换;矩阵;向量组;线性方程组

[基金项目]2018年安徽三联学院质量工程项目大规模在线开放课程（MOOC）—线性代数（18zlgc042）;2019年安徽省高等学校自然科学研究重点项目“区间二型模糊行为决策方法及其在商务智能推荐中的应用”（KJ2019A0887）;2019年安徽三联学院自然科学研究重点项目：“二型模糊群决策方法及其在商务智能推荐中的应用”（KJZD2019008）;2019年安徽三联学院星级教师工作坊项目“大学数学教学研究”（XJJS201902）;2018年安徽省质量工程高校继续教育教学改革项目“应用型本科高校继续教育课程远程化教学模式改革探析—以高等数学课程为例”（2018jxjygg004）

[作者简介]王翠翠（1989—），女，安徽宿州人，硕士，讲师，主要从事大学数学教学方法研究。

[中图分类号] O241.6[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）47-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

矩阵初等变换是线性代数课程中矩阵的一种重要且基础的运算法则，它是研究矩阵、向量组线性相关性、线性方程组的解、二次型以及线性空间等内容不可替代的工具。在实际教学中，学生过分关注矩阵初等变换的形式，而对其内涵的理解不够深入，尤其是对其应用范围缺乏全面系统的认识。下面结合具体实例，对矩阵初等变换的应用范围进行总结和探究。

二、矩阵的初等变换

定义1：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

（1）交换矩阵的两行（交换i，j两行，记作ri?rj）;

（2）以一个非零的数k乘矩阵的某一行（第i乘数k，记作kri）;

（3）把矩阵的某一行的k倍加到另一行（第j行乘以数k加到第i行，记作ri+krj）。

把定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义（相应记号中把r换成c），初等行变换与初等列变换统称为初等变换。同时矩阵的初等变换逆变换仍是初等变换，且矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为A～B。

根据以上内容可以看出，矩阵的三种初等变换方式与行列式的性质有类似，但在使用行列式性质化简计算行列式时，每一步都是可以进行相等的变换。而对于矩阵而言，每进行一次初等变换得到的矩阵与原矩阵之间不是相等的关系，而是等价的关系，因此每一次的初等变换不能用“=”进行连接，而是“→”。这地方的不同在教学中一定要多次向学生强调，学生在书写时经常犯错误。

三、矩阵初等变换的应用

（一）矩阵运算中的应用

1.求解矩阵标准形。任意非零矩阵行阶梯形矩阵行最简形矩阵等价标准形

其中，行阶梯形矩阵特征是元素全为零的行均位于矩阵的下方，且各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大;行最简形矩阵的特征是各非零行的首非零元都是1，且每个首非零元所在列的其余元素都是0;等价标准形矩阵的特征是分块后，它的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0。值得注意的是，行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的化简只进行初等行变换即可，而最后一步等价标准形的处理根据题目特征，有的只需要初等行变换即可，有的既需要初等行变换，也需要初等列变换才可以。

2.求解逆矩阵。在求方阵A的逆矩阵时，将同阶数的单位矩阵E一起构建一个新的矩阵，对其进行初等行变换，当矩阵A变成单位矩阵E时，与此同时，对应的单位矩阵变成的矩阵即为方阵A的逆矩阵，即

从以上可以发现，在构造矩阵（A E），对其施行初等行变换化成行阶梯形矩阵（A1 B）时，若矩阵A1中有零行，则A1是不可逆的，否则A1是可逆矩阵。进一步将（A1 B）化成行最简形矩阵，进而给出矩阵A的逆矩阵表达式。

在实际应用中，同学们已经学习了伴随矩阵法求矩阵的逆矩阵，但在方阵的阶数较大时，求对应方阵行列式的代数余子式计算量较大，初等变换法判断矩阵是否可逆以及求逆矩阵就是最优的方案了。

4.求矩阵的秩。

定理1：若矩阵A→B，则r（A）=r（B）

此定理表明初等变换并不改变矩阵的秩，因此用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。

对矩阵的秩求解使用k阶子式，对于较复杂的矩阵，直接寻找非零r阶子式相对也较困难，计算量也较大，因此矩阵的初等变换是不二之选。

（二）向量组运算中的应用

在学习时，我们知道线性代数中的向量组与矩阵是一一对应的，每一列向量组或行向量组都可以用一个矩阵的形式进行表示，因此研究向量组的许多问题，比如向量组的线性表示，向量组的线性相关性，向量组的秩等都可以构建矩阵，对矩阵进行初等行变换来解决。

1.判定向量组线性表示及线性相关性问题。

定理2：设同维数列向量β，α1，α2，…αn，则向量β能由向量组α1，α2，…αn线性表示的充要条件是矩阵A=（α1，α2，…αn）组与=（α1，α2，…αn，β）的秩相等。

定理3：设有n维列向量α1，α2，…αs，向量组α1，α2，…αs线性相关（无关）的充要条件是矩阵A=（α1，α2，…αs）的秩小于（等于）向量的个数s。

由定理2和定理3可知，判定某向量能否由一向量组线性表示及判定向量组的线性相关性均转化为相应矩阵初等行变换求秩之后比较大小的问题即可。

2.求解向量组的秩与极大线性无关组。由于矩阵与向量组之间有一一对应关系，任一向量组均可用对应矩阵表示，所以向量组的秩求解可转化为对应矩阵进行初等行变换求秩。同时，在对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵时，首非零元所在列的向量是线性无关的，且任一向量也可由此线性无关的向量组线性表示。于是，线性无关的向量构成的向量组可以为该向量组的极大线性无关组，再次说明初等变换在这里起着非常关键的作用。

例題2：已知列向量，，，，求向量组：α1，α2，α3，α4的秩及一个极大线性无关组。

解：令A=（α1 α2 α3 α4），对矩阵A作初等行变换，化成行最简形矩阵得，

A=（α1 α2 α3 α4）=（5）

由上述矩阵可知，r（A）=3，且非零行所在的列是第1，2，3列，因此向量组α1，α2，α3，α4的秩为3，且一个极大线性无关组是α1，α2，α3。

在实际教学中，引导学生使用矩阵的初等变换解决向量组的诸多问题时，为避免学生对初等行变换与初等列变换之间混乱，统一成“列向量，行变换”，行向量组的诸多问题全部转化为列向量问题进行解决。

（三）线性方程组中的应用

1.求解齐次线性方程组。齐次线性方程组对应的矩阵方程形式为AX=O，首先将系数矩阵化为行阶梯形矩阵，便可直接判断出是否有非零解，若有非零解，继续进行初等行变换，化成行最简形矩阵，便可写出其全部解。

2.求解非齐次线性方程组。非齐次线性方程组对应的矩阵方程形式为AX=B，若矩阵A为方阵且可逆，则可转化利用逆矩阵方式求解。而一般情形下，常用方法是将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，便可直接判断出是否有解，若有解，继续进行初等行变换，化成行最简形矩阵，便可写出其全部解。

在讲解矩阵的初等变换法求线性方程组问题时，先易后难，先认识线性方程组的同解变换，再通过简单的线性方程组实例给出解的形式，有的可以使用克莱姆法则判定，有的不可以，进而给出一般情形下的线性方程组解的讨论。从多个角度来探讨线性方程组的解与系数矩阵、增广矩阵的秩之间的关系，解决线性方程组是否有解，有多少个解，解是什么。使学生深刻理解线性方程组解的结构特征以及初等变换法对一般情形下的线性方程组求解的优势。

矩阵初等变换除了可以应用于上述问题外，在求解方阵的特征值和特征向量、二次型和多项式等方面也有所应用。在实际教学中，学生比较偏向于使用行与行之间的变换，缺乏对列变换的练习。因此，为避免学生发生混淆，导致对矩阵化简和变换错误，可引导学生熟练掌握初等行变换各种类型的应用。尤其是在变换行阶梯形矩阵、行最简形矩阵，求逆矩阵和线性方程组解时只需进行初等行变换，而在求解向量组的线性表示和线性相关性问题时，可引导学生“列向量，行变换;行向量，量转化，行变换”的方法加以解决。

四、结束语

矩阵初等变换贯穿于整个线性代数课程的教学过程，因此，在教学工作中，教师如何讲解矩阵的初等变换，使学生理解初等变换的内涵及其应用范围尤为重要。教师一定要因材施教，根据学生理解的不同程度，分层布置作业，加强学生对此知识的理解和掌握，进而为后续知识和相关专业课程的学习，奠定坚实的基础。

参考文献

[1]吴赣昌.《线性代数》（理工类简明版第5版）[M].北京：中国人民大学出版社，2017.

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[3]吴英柱.矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨[J].广东石油化工学院学报，2017，27（1）：71-75+94.

[4]张丽娟.等价关系在代数教学中的简化作用[J].教育教学论坛，2020（15）：281-283.

Abstract： Matrix elementary transformation is the basic content of the Linear Algebra course. By analyzing the connotation of elementary transformation， the paper explores the application of matrix elementary transformation from the three aspects of matrix operation， vector group operation and equation group solution， and analyzes its application process with examples.

Key words： elementary transformation; matrix; vector group; linear equation group