从极限简易定义谈高等数学通俗化教学

孙波

[摘 要] 簡要分析了我国高等数学教育的历史、现状和大众化教育下存在的问题与矛盾，以极限简易教学设计探讨高等数学通俗化教学。主要观点是让数学回归生活，回归自然，充分体现高等数学的应用性目的与功能。

[关键词] 高等数学;通俗化教学;极限简易

[作者简介] 孙 波（1965—），男，湖南澧县人，博士，湖南科技学院理学院教授，研究方向为应用数学。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）39-0238-02    [收稿日期] 2019-12-31

一、引言

极限是微积分的灵魂，是贯穿微积分理论体系的线索。其精髓在于用ε和N严格定义了数列极限;用ε和δ严格定义了函数极限。正是有了这样严格的定义，才使得数学史上似零又非零的无穷小得以澄清，使得凭直觉看出的结论经过证明绝对可靠。然而，从数学教育和应用角度来看，也恰恰因为极限定义之高深把很多学子拦在了门外。受前苏联高等教育的影响，我们的理工科教学一直偏重理论严谨。公共数学课尽管不像《数学分析》那样严密，但基本上还是遵循着从定义到定理推导的理论模式，至少极限定义那一节还得把ε和N、δ摆弄一番。至于学生到底听懂没有，听得厌倦与否似乎无暇顾及。当然，我们的传统教法有其历史合理性，我国现代高等教育源于计划经济年代的精英教育。几十年以前的大学生是国家作为干部和专业技术人才计划招收和培养的，基础好，素质高，强调基础理论功底很正常，也很必要。

时移世易，变法宜也。短短20余年，我国高等教育发生了沧桑巨变。随着招生规模倍增，大学及大学生层次水平跨度拉大，既包含了才思敏捷勤奋好学的英才，也不乏初等数学都没过关的。我就碰到过连（a+b）如何展开都不知道的数学专业本科生和120度角正弦都回答不了的工科生。当然，产生这种奇怪现象的原因是多方面的，以升学率和考纲为指挥棒的中学教学目标管理可能也是原因之一。用李大潜先生的话讲：“他们只管把学生送进大学，至于以后怎样就不管了。”我们管不了中学教育，但我们面对的课堂现状是，不管你怎么讲，总有几个听不懂，不爱听的。另外，手机这一天敌无时不在干扰课堂教学，可以说大学老师特别是数学老师已经很难按传统模式教下去了。而主导国内高数教学的教材并没有与时俱进地简化处理，任课教师也只好照书硬着头皮讲下去。

残酷的现实逼得我们不得不考虑这样一个问题：到底能不能忍痛割爱，淡化严格定义和推理体系，让学生绕开那道高高的门槛和“九九八十一难”拿到工科计算需要的数学工具呢？

二、极限简易教法

它山之石，可以攻玉。或许是因为美国中小学教育松散粗放，学生理论功底不高，他们的高数教程一般编得通俗简捷，省去了大量抽象定义和证明，倒是把力气花在了该花的地方，介绍大量物理工程及社会经济案例模型。他们甚至可以避开ε和δ讲完微积分。本文摘录Hofstra大学编写的应用微积分（Calculus with Applications）教材极限章节予以说明，以期抛砖引玉，和国内同行共商高等数学教学改革。

上述定义显然非正式，或者说不严格，因为“越来越接近”和“任意靠近”并没有进一步定义。但这种非正式描述并不妨碍学生理解极限概念。正式严格定义的作用主要是为了证明极限运算法则和一些后续高深结论，而极限的运算法则本来就容易理解，甚至可以说无师自通。可以不加证明地直接给出。只要承认了极限运算法则，微积分主要结论基本上都可推导过去。除了极限的加减乘除基本运算法则外，有些推论甚至也可作为运算法则直接列出，如常值函数的极限等于它本身：

当然实数α应使得幂运算有定义。

数列极限的定义也可类似简化处理：省掉ε和N，同时不加证明地给出运算性质。国内教材一般通过古老的割圆术导出数列和极限概念，应该说是经典之作。可现在很多大学生听课自觉性不高，对一些远离生活的高深话题不感兴趣。现实对大学教学特别是数学教学提出了严峻挑战，严格要求学生反过来又会影响他们对教师的教学评价。笔者拿银行活期存款结息引入数列概念，首先摆出两张存折图片，然后引入话题：自然界和人类社会有些数量变化过程表现为离散形式，如中国农业银行活期存款每季度末的21号结息一次，于是每张存折每季度出现一个利息数字。假设某张存折永不销户，则其所有利息数字按时间顺序排列起来构成一数列。再把话题进一步展开，随意构造几个数列。

三、教学效果

笔者首次在二类本科院校抛开严格定义，只按描述性方式讲解极限，大部分学生都能听懂，课堂抬头率明显提高。四个教学班130名学生期中考试看图像判断极限答题正确率在95%以上，说明学生理解了极限概念。但课本现成例题数列（1+1/n）的极限却丢分较多，很多学生填1，也有填∞的。有的这个题填对了（e），但接着把x趋于零时（1+x）的极限填成了1。或许这已不是个别现象，说明了大众化教育下学生的抽象推理能力下降。按传统命题风格和课程考核标准就当淘汰一大片，而现行教学和学位管理体制还是要让学生都通过课程毕业。教师能做的就只能是降低门槛，简化内容和表述方式，基本满足工科专业课的数学需要了。笔者万般无赖之下发动学生用手机计算器算n=10，100时（1+1/n）的值，看出它向e靠拢;再算x=0.1，0.01时（1+x）的值，学生还是能说出它们的极限是e。看来，以算代推也是一种办法。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.L.Lial，Calculus with Applications，Springer-Verlag，2010.