PageRank思想在若干数学课程教学中的渗透

郑华 孙宇锋

[摘 要] 在数学模型、数值分析、数学软件等信息与计算科学专业课程中渗透PageRank的数学思想，可以用来在教学过程中形成链条式的教学模式，使学生进一步明确学习目标、激发学习兴趣以及拓展学习视野，提高学生学习动力和提升教学效果，使学习更有深度、广度和宽度，进而辐射科学计算后续相关专业课程。

[关键词] PageRank;链条式教学;课程融合

[基金项目] 教育部2017年度“产学合作协同育人”项目（201701044035、201701044085）;广东省2016年度“教育教学质量工程”建设项目

（大学生实践教学基地立项No：46）;韶关学院第十九批教育教学改革研究重点项目“基于大数据创新能力培养的《专业核心

技能训练》课程教学改革研究与实践”（SYJY20181908）;2018年韶关学院“质量工程”建设项目（科学计算中的若干问题No：7）

[作者简介] 郑 华（1982—），男，广东韶关人，计算数学博士，韶关学院副教授，研究方向为高性能计算;孙宇锋（1963—），男，河北邢台人，基础数学硕士，韶关学院数学与统計学院教授，主要从事微分方程、数学文化与数学史研究。

[中图分类号] G642    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）30-0294-02    [收稿日期] 2019-09-23

一、介绍

数学模型、数值分析、数学软件等是信息与计算科学专业的重要专业课，这些课程良好的教学效果直接为该专业学生进一步学习和解决科学计算问题、顺利完成专业人才培养方案的要求打下基础。因此，在关联性紧密的信息与计算科学专业课程教学过程中，如果能借助合适的科学计算模型以及数学思想把多门课程融合，探索课程之间相应理论的关联性，以链条式教学的模式在不同的问题情境中多次呈现类似的数学思想，进而不断呈现相关课程内容中隐含的关键要素，有利于学生掌握并迁移于新的情境，提高其认知的灵活性，使学生进一步明确学习目标、激发学习兴趣以及拓展学习视野，加强对相关课程知识体系的贯通和全面掌握。

二、PageRank简介

一个实际问题的建模及解决往往是很复杂的，需要各方面的专家长期协作，逐步取得进展。因此，要把问题引入到教学中来，精选问题就成了关键[1]。PageRank是Google搜索中的核心算法，对于按用户提交的关键词搜索得到的网页，基于这些网页在互联网中相互之间的浩瀚链接关系，PageRank算法对网页进行等级评分（称为PR值）排序，其主要思想是同时考虑各网页被链接数量以及各网页本身的重要性。PageRank算法计算各网页PR值的基本步骤为：1.从互联网获取表示网页之间链接关系的邻接矩阵;2.对邻接矩阵进行修正得到Google矩阵;3.计算Google矩阵的主特征向量（即按模最大的特征值对应的特征向量）;4.把主特征向量进行归一化后得到各网页的PR值。

三、PageRank和“循环比赛的名次”的建模过程教学

在数学模型的教学过程中，如果能把数学建模方法与鲜活的现实问题情境相联系，就能加强理性与感性认知的有机联系，促进对数学建模方法本质的深刻理解，增强数学建模方法的灵活运用和广泛迁移。“循环比赛的名次”是数学模型[2]中的离散模型之一，其关注的背景问题是日常生活中的比赛排名问题（比赛只有胜负，没有平局）。最简单的思路是按照各个参赛队的总胜场数进行排名，但从比赛结果对应的竞赛图角度看，在双向连通图的情形下无法对所有参赛队进行排序。因此，在数学模型课的“循环比赛的名次”建模思想的讲授中，同时给学生展示PageRank的建模思路，可以有效地帮助学生进行对比，通过科学计算前沿问题的拓展，加深对所学知识的理解。

四、PageRank和幂法的推导过程教学

在数值分析[3]的特征值计算理论中，幂法对应的是计算大规模稀疏矩阵的主特征值和主特征向量，这与PageRank算法流程第（3）步针对的数学问题一致。从该数学问题的描述上看，跟高等代数课程中学习的矩阵特征值理论有所区别，这里只需计算矩阵的1个特征值及其对应的特征向量。根据上节的分析，可结合PageRank模型的背景，给学生阐明计算主特征值和主特征向量在实际应用中的必要性，确实有些应用问题只需要计算矩阵的1个特征值信息（而不是全部的特征值信息），进而帮助学生摆脱高等代数特征值理论的纯理论束缚，加深对幂法背景的理解，拓展学生的学习视野。

在算法构建上，幂法的推导思路是不断用给定矩阵乘以初始向量（即出现了矩阵乘幂的运算），然后借助算法假设得到幂法的迭代格式以及推导其收敛性理论，这个过程涉及到高等代数课程较为抽象的线性空间和向量线性相关性理论，并且，其中的关键在于如何想到利用矩阵乘幂提取出矩阵的主特征值和对应特征的向量。因此，对于在大学一年级阶段数学基础课学得不好的学生，理解起来有些困难，会被略显枯燥的数学推导束缚进而影响对算法思想的掌握。由于幂法的推导思路和PageRank模型的思想是类似的，借助PageRank模型的简单版本——“循环比赛的名次”，就可以从“如何显现每场比赛的胜负价值”这个角度入手，借助邻接矩阵的意义和矩阵乘法规则，给学生展示幂法中矩阵乘幂运算的推演。在这个过程中，把生活化以及科学前沿的案例融入较抽象的算法推导，能快速让学生把握数学推导的关键思想，进而加深对幂法的理解。

五、PageRank和稀疏矩阵实验教学

稀疏矩阵的存储和运算是数学软件课程关注的内容之一，在计算机上对稀疏矩阵（尤其是大规模问题）进行操作的过程中，一般采用三元数组存储的方式，并且应尽量避免矩阵乘矩阵的运算。以MATLAB为例，如果局限在MATLAB中讲解稀疏矩阵运算的相关函数（如sparse、sprand、spdiags、speye等），部分学生对此可能不会有深刻的体会，容易形成为了应付期末考试而去机械记忆这些函数的不良学习习惯。考虑到PageRank模型中的Google矩阵正是由大规模稀疏矩阵修正得到的，把该实例引入数学软件课程的上机实验，结合实际问题进行算法实现，给相关内容的教学带来了生气，可以消除学生对复杂代码的厌烦情绪，让学生更能感受到课程的实用性。

對于稀疏矩阵的存储，在讲解三元数组存储方式原理的基础上，结合PageRank模型中Google矩阵规模的演变过程，让学生了解大规模稀疏矩阵的实际背景，认识到学习稀疏矩阵存储的必要性。其中，可以在互联网上下载来源于实际应用的大规模Web邻接矩阵数据包，作为学生上机实验的操作对象。进一步地，由于PageRank模型中的Google矩阵被个性化向量修正后是完全稠密的矩阵，因此不能在算法实现中进行显式存储，以此作为大规模稠密矩阵存储的反例，为下一步稀疏矩阵的运算格式做好铺垫。

对于稀疏矩阵的运算，以大规模的Web邻接矩阵为例，用MATLAB的spy函数查看矩阵稀疏结构在矩阵乘矩阵运算中的被破坏程度，可以使学生快速理解在PageRank算法实现中Google矩阵不能直接存储的原因，同时加强对“避免矩阵乘矩阵”这个稀疏矩阵基本运算规则理念的理解。同时，基于计算机内存限制和PageRank算法中的矩阵乘幂运算要求，需要把矩阵乘幂运算转化为矩阵乘向量，进而才推导出幂法实现的迭代过程。结合PageRank算法流程进行讲解，能使学生对数值分析中以迭代格式来实现幂法有更好的理解.

六、结论

信息与计算科学专业着重培养学生解决科学计算、软件开发等实际问题的能力，把科学计算中的前沿问题与该专业数学模型、数值分析、数学软件等专业课相结合，在这些课程中渗透PageRank数学思想，围绕这一典型综合案例，以连贯的模型建立、算法设计、算法实现带动相关数学理论的理解，有效地帮助学生在宏观上把所学的知识关联起来，提高对专业知识的多角度理解，使学习更有深度、广度和宽度，提高学生的学习效率，提升教学效果，同时辐射科学计算后续相关专业课程。由于众多应用数学类的课程相互之间都有一定的关联性，本文的教学研究思路可推广到其他应用数学类的课程中。

参考文献

[1]韩旭里.数值计算与数学建模结合教学的实践[J].数学教育学报，2008（3）：74-75.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008.

The Infiltration of the Idea of PageRank in the Teaching of Some Mathematical Courses

ZHENG Hua，SUN Yu-feng

（School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan，Guangdong 512005，China）

Abstract："Mathematical Model"，"numerical Analysis"，"Mathematical Software" and other information and computational science courses infiltrate the mathematical thought of PageRank，which can be used to form a chain teaching model in the teaching process，so that students can further clarify their learning objectives，stimulate their interest in learning and expand their learning horizons，improve their learning motivation and improve their teaching effect，and make their learning more deep，broad and wide，and then it will be helpful for the follow-up related professional courses in calculation science.

Key words：PageRank;chain teaching;courses integration