关于“负零”的理解和教学

[摘 要] 通过对“负零”的深入理解，举了一个教学案例，在该案例中融入了数学概念的挖掘与剖析，并且归纳出负号的两层含义，解决了实际教学中的难题。文章的后两部分对案例进行评析和思考，提出一些教学观点。

[关键词] 负零;负号;相反数;近世代数;兴趣;最近发展区

[作者简介] 胡力文（1984—），男，安徽萧县人，硕士，中学二级教师、国家二级心理咨询师，研究方向：基础数学、数学教育。

[中图分类号] O12    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）25-0337-02    [收稿日期] 2020-02-20

一、背景

“有理數”是沪教版六年级数学中的主要章节，而‘相反数和‘绝对值又是这一章当中相当重要的两个概念，这两个概念看似简单，实则里面有些细节问题很不容易被人理解。比如，在“绝对值”一节中有一个教学难点：当a<0时，|a|=-a。许多学生也许会有这样或那样的疑问：a已经小于0了，怎么还会出现一个-a，这里的-a究竟是正数还是负数？要解决这个教学难点，我们必须对“-”号的含义有深入的思考和理解。在对这个问题进行思考的过程中，我又想到了一个问题，“-0”这样的写法可以吗？如果可以，它表示什么含义？如果不可以，那又是为什么呢？这个问题，我在课堂上提出，引起了学生很大的兴趣。而当我们把这一系列问题都搞清楚之后，我们也就更容易把握相反数和绝对值这两个重要概念了。

二、案例

那是2011年我刚踏上教师岗位的时候，六年级正好讲到相反数和绝对值这两个概念。在一次备课组的交流活动中，好几位老师都说，当a<0时，|a|=-a，学生很不容易理解，也有老师提出-a这个符号的出现对于六年级的学生来说是不是太早了？而对于这个教学难点，当时似乎没有老师能够想出一个有效的解决方法，也就顺其自然了，等学生到了七年级学了代数式之后他们自然会理解的。

由于我之前研究生期间主修的是代数方向，因此我对近世代数里面结构和符号的理解就比较深入。在一次对于-a的思考过程中，我的脑海中突然产生了一个灵感：有理数集Q关于有理数的加法和乘法运算构成一个环（其实也是一个域），而环当中关于加法运算有“负元素”的概念，这里的“负元素”指的是加法交换群的逆元素，对应到中学数学就是相反数。因为在任意一个环当中0的负元素仍然是0，所以我又想到了这样一个事实：-0是有确切含义的，它表示0的相反数，-0=0。带着这样的思考，我走进了课堂。

那节课，我简单地给学生复习了一下正数、零、负数的概念之后，就提出了一个问题：-0这样的写法可以吗？如果可以，它表示什么含义？如果不可以，那又是为什么呢？我的问题一说完，学生们“唰”的一下讨论开了。他们有的说可以，有的说不可以，展开了激烈的争论。

就这样，过了三四分钟之后，我让他们把注意力集中到我这边，然后说：“认为可以的同学请举手”，大约有一半不到的学生举起了手。我接着说：“认为不可以的同学请举手”，这次举手的学生要稍微多一些。

接下去，我让持这两种不同观点的学生说一下他们的理由。第一位同学说：“我认为-0这样的写法是可以的，因为-0就等于0。”至于为什么-0=0，他似乎不能更好地回答。第二位同学说：“我认为-0这样的写法不可以。因为0没有正负，所以-0是没有意义的”。

这两位同学都说完之后，又有同学在下面争论。我示意让他们安静，这时他们都带着期盼的眼神望着我，等待我宣布“最终判决”。我知道，此时他们一定非常想知道正确答案，于是我就说：“事实上，-0这样的写法是可以的。”话音刚落，持第一种观点的同学都开心地叫出了“耶！”而持第二种观点的学生都在疑惑地问我“为什么？”

这时候，我感觉学生的学习兴趣被激发出来了。接着我就说：“在数轴上，按照有理数的大小来进行分类，0右边的数都是正数，0左边的数都是负数，而0本身是没有正负的，但这并不意味着-0这样的写法不可以。事实上，-0表示0的相反数，-0=0。”这样一说，学生的脸上都露出了恍然大悟的表情。

接下去，我就给学生归纳总结出了“-”号的两层含义：①在一个正数前面加上“-”号，表示一个负数（小于0的数），比如-1、-4、-■、-5.27，等等;②在任何一个有理数前面都可以加上“-”号，表示原来这个有理数的相反数，比如-0=0（-0表示0的相反数）、

-（-2）=2（-（-2）表示-2的相反数）、-a表示a的相反数（其中a是有理数）。在我讲解的时候，学生们都竖起耳朵听着，认真地做着笔记。

有了这样的认识，最后我们回到了之前的那个教学难点：当a<0时，|a|=-a，我问学生：“这里的-a表示什么？”这时学生们都异口同声地回答：“a的相反数。”我说：“很好，这里的-a表示a的相反数。这句话的意思是，当a<0时，a的绝对值就等于a的相反数。”顺着这个话题，我再告诉学生：“事实上，当a=0时，|a|=a=-a，即|0|=0=-0。也就是说，0的绝对值既等于0本身，又等于0的相反数。”对于这样的分析和归纳，学生们依然全神贯注地听着，在笔记本上记着。

“-0这样的写法可以吗？”一定深深地印在了这个班学生的脑海中。通过本节课的学习，学生对于“–”号的两层含义有了清晰的认识，他们对“相反数”和“绝对值”这两个概念的理解也更加深刻了。

三、评析

“-”号的两层含义是重要的数学概念。对于刚刚接触“-”号的学生来说，他们往往会把“负号”和“负数”联系在一起，比较容易接受“负号加在正数前面表示负数（小于0的数）”这样的观点，而对于第二层有些抽象的含义“在任何一个有理数前面都可以加上负号，表示原来这个有理数的相反数”，他们一下子难以接受。这就需要老师创设情境、铺设台阶，使学生更容易接受新的观点、新的知识。

伟大的科学家爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师”，这就是说一个人一旦对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动去求知、去探索、去实践，并在求知、探索、实践中产生愉快的情绪和体验。在这节课当中，“-0这样的写法可以吗”很好地激发了学生的兴趣，调动了学生的积极性。孔子曾经说过“不愤不启，不悱不发”。也就是说，只有当学生达到“愤”“悱”的状态时，老师的启发才是最有效果的。当学生对“-0这样的写法可不可以”这个问题经过激烈的讨论之后，他们达到了一种“愤”和“悱”的心理状态，这时候再去开导他们就会取得令人满意的效果。

蘇联教育家维果斯基提出了“最近发展区”理论，他认为学生的发展有两种水平，一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平;另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力，而二者之间的差异就是最近发展区。我们的教学也应该着眼于学生的最近发展区，为学生铺设好台阶，引导学生一步一步地超越其最近发展区而达到下一阶段的发展水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展，从而达到我们的教学目标。在这节课当中，等学生弄明白了“-0表示0的相反数，-0=0”之后，再给他们讲“-”号的第二层含义，他们也就容易理解了。作好了一系列的铺垫，再让学生理解“当a<0时，|a|=-a”也就不那么难了。就这样，一个教学难点被巧妙地解决了。

四、思考

几十年前，有一句教育老话，“要给学生一杯水，教师得有一桶水”。作为老师，我们虽然只教中学数学，但是必须具备扎实的专业功底，学过许多高等数学课程，吃透课程标准，做过数学难题，经历过深层次的数学思考，这样才能够让我们的数学教学更加贴近数学学科本身，真正做到传授科学知识（而不仅仅是应试方法和技巧），从而培养学生良好的思维习惯和学习习惯。“-0这样的写法可以吗”，这个问题看似简单，实则牵涉到我们对于“-”号含义、相反数等概念的理解。而要深入准确地理解这样的两个概念，我们在大学数学专业学过的近世代数课程就起了关键的作用。只有当我们接触过群、环、域等抽象代数结构之后，我们才能真正理解中学数学课本中出现的有理数、实数、代数式等具体的数学对象中的一些概念。

但是，光有扎实的专业功底是不够的，作为中学教师，我们还必须了解中学生的现状，结合他们的实际，用他们能够听明白的语言和他们进行交流（我们总不能和他们讲近世代数里的环、负元素这些抽象概念吧）。在课堂上，我们要注意激发学生的学习兴趣和求知欲，关注学生的“最近发展区”并铺设好台阶，用生动形象的语言和能够被学生所接受的方式进行授课，使我们的课堂教学收到应有的效果，从而让我们的学生真正学有所获，使他们在学业上取得进步与提高。

参考文献

[1]数学（六年级第二学期，试用本）[M].第3版.上海教育出版社，2015.

[2]韩士安，林磊.近世代数[M].第二版.科学出版社，2009.

[3]丘维声.近世代数[M].北京大学出版社，2015.

Abstract：Through the deep understanding of "negative zero"，a teaching case is given，in which the tapping and analysis of mathematical concepts are integrated，and the two meanings of negative sign are summed up to solve the problems in practical teaching.In the last two parts of the article，the author evaluates and reflects on the case and puts forward some teaching ideas.

Key words："negative zero";negative sign;opposite number;modern algebra;interest;recent development field