实验班数学分析课程教学改革初探

李祖雄

[摘 要] 数学分析课程是数学及相关专业如数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、理工科等的核心专业课，是实变函数、复变函数、泛函分析、常微分方程、概率論与数理统计、拓扑学、微分几何等大学后续课程的基石。结合近年来数学分析课程教学的实践，针对实验班数学分析课程的教学体会与经验共享于同行。

[关键词] 数学分析;教学改革;核心课程;实验班教学

实验班往往是通过入学考试、开学选拔等方式挑选出部分优秀且有志于进一步深造的学生而设立的班级。其培养目标为：培养适合中小学教育和社会发展需要，具备扎实的数学基础，掌握数学知识的基本理论、基本方法，具备运用数学知识及数学软件解决现实问题的能力，接受过严格的科学思维训练，能在教育、经济、金融、科技等部门从事教学、管理或研究等工作的高素质人才，为各高校的硕士研究生教育提供优良生源。

创建于17世纪的数学分析是应用十分广泛的学科，是大学数学专业及相关学科最为核心的专业基础课，是奠定后续分析课程的基石，也是数学专业研究生入学考试的必考科目之一，它的重要性不言而喻。实验班的课程学习往往设置为4学期，每周讲授6学时，这样增长了学习周期和学习消化时间，有利用学生更好地掌握知识，为今后的学习打下扎实的基础。数学分析课程是通过四个学期系统学习和数学训练，逐步提升学生的数学综合素养，使学生掌握数学思想和方法，养成他们的数学思维，提高他们分析解决问题的能力。

由于数学分析课程是打开其他课程大门的金钥匙，也是学生学习道路上的“拦路虎”，因此教好它和学好它极为重要。为了更好地教好数学分析这门核心课程，为学生后续课程学习打下扎实基础，对数学分析的教学提出一些想法和思考，仅供参考。

一、注重脉络框架搭建，强调理论基础

数学分析是用极限这一数学工具来研究函数的连续性、可微性、可积性这些分析性质，极限贯穿整个课程。函数包含一元函数及多元函数，而数列又是自变量为正整数的特殊一元函数，当然级数是无数项数列的和，是一元函数，数项级数的和是特殊的和函数，函数项级数是一般的和函数，而傅里叶级数是将周期函数展开为三角级数的形式。从一元函数扩充到多元函数，同样研究函数的连续性、可微性与可积性等分析性质，其框架可见图1。而这些分析性质都需要极限来研究，从而数学分析课程首先要强调极限的重要性，但极限既是数学分析课程的重点又是学习的难点。

对于大学一年级新生刚接触数学分析，学习难度很大，因为很多概念既熟悉又陌生，熟悉在于他们在中学阶段学习了极限、导数、定积分等知识点，而陌生在于对于这些知识点的精确数学定义和严格的数学语言是全新的。由于在高中阶段他们所接触的知识点偏重于计算，是较为直观初等的，一入学就接触抽象的描述变量变化趋势的极限的概念，即描述数列极限的ε-N语言和描述函数极限的ε-δ语言是极其困惑的。因此，老师必须采取措施让学生渡过这一难关，否则学生面临着失去学习兴趣的危险.数列其定义为：？坌ε>0，？埚正整数N=N（ε），使得当n>N时总有。首先用直观的图形解释极限的定义（见图2，文献[1]）。从图2中我们可以清晰地看到从N+1项起所有的x的值都落在α-ε与α+ε这个条形区域之间，也就是点列{x}聚集在α的附近，由于ε的任意性，则α-ε与α+ε可以任意收缩到α点。其次，可以举例说明极限的定义，若取ε=0.001，则从1001项开始就会满足|x|<ε，若取ε=0.0001，则从10001项开始才会满足|x|<ε，以此来说明ε的任意性和给定性，只有给定了ε，就能找到正整数N，只要N存在即可。再就是要说明数列的极限与前面有限项无关，改变数列前面的有限项不改变数列的极限。最后，需要通过提问、复习等方式反复强调ε-δ语言，加深学生对概念的印象。

函数的极限注重自变量极限过程的六种情况和函数值极限的四种情况的组合，如f（x）=A的定义两端描述了函数值的极限，中间部分表述了自变量极限的过程。同样可以和数列极限的定义进行对比，发现它们的相同和不同，以及今后学习多元函数的极限的定义可以类似分析其定义的同与不同，同样可以应用直观的图形来帮助学生理解函数极限的定义，在这里就不画图加以说明了。由于函数的极限与函数的分析性质密切相关，而且连续性、可微性、可积性都是极限予以定义，这样可以反复加强函数极限的定义的理解和应用。

逐步强化加深学生对各种重要定理的理解和应用，例如，柯西收敛准则在数列极限的敛散性、函数极限的敛散性、无穷积分的敛散性、瑕积分的敛散性、数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性等均有描述，因此，我们强调他们的共同点，再分析他们的区别，这样将多个知识点的掌握变成一个知识点的掌握，化零碎为整体，既减轻了学生的负担又巩固了知识点。同样对于阿贝尔判别法和狄利克雷判别法、一致连续的定义等知识点也可类似进行处理。

二、精选教材，精心施教

由于实验班的特殊性，对于教材的选取十分重要.通常选用复旦大学陈纪修、于崇华、金路教授所编《数学分析》教材作为主教材，参考华东师范大学数学系编《数学分析》、北京大学伍胜健教授编著的《数学分析》、山东大学郭大钧、陈玉妹、裘卓明教授编《数学分析》等教材。在教学过程中，对于抽象的定义，通常会应用郭大钧等教授所编教材细致入微的加注解释，经常也会在重要知识点都会增加例题来加强学生对知识点的巩固和提高，也会将重要的结论加以强调，课中、课后、复习中反复重现，引起学生的足够重视。对于习题的布置，即要选一些经典的习题加以练习又会选一些新颖的灵活的习题锻炼学生的灵活度，比如选一些最近国家研究生入学考试试题、名校考研试题、数学竞赛试题等，这样也符合实验班学生培养目标，为学生考取研究生打下坚实的基础。虽然数学分析课程长达四学期，但是习题课时依然不够，因此还每周额外增加习题课，由研究生助教进行讲解，更进一步巩固了学生所学知识点，既增加了学习课时，又培养了研究生的教学实践能力。由于数学分析课程是其他后续课程的基础，而四个学期的课程安排势必影响了其他课程的学习，为了避免这一问题，教学顺序并未完全按照教材中的顺序进行，通常会将重积分、曲线积分、曲面积分等知识点提前讲授，将级数论知识点往后进行教授，这样就有利于概率论与数理统计、大学物理等课程的顺利开课。可见对于这门课程的施教偏重于精讲教练。

三、考核、评价方式

大学课程的考核是教學中的一个重要环节。为了使学生更好地掌握知识，督促学生及时消化掌握知识，通常会进行单元测验，并将成绩按一定比例计入期末总评成绩，也会进行期中考试，期中考试题目会比较难一些，且试题题型较接近研究生入学考试专业课考试题型，这样有利用于拔高学生的解题能力，使他们熟悉考研的考核方式，由于题目较难，所以这次考试成绩一般不计入期末总评成绩，但如果学生缺考就会扣除部分平时成绩，这样既杜绝了学生故意不参加考试，又避免了影响学生期末总评成绩。这种考核评价方式避免了期末考试决定整个学期成绩的弊端，也促使学生养成持之以恒的学习习惯，规避了期末突击的坏习惯，规范了平时成绩的赋分方式，更有利于学生扎实掌握知识。

四、利用创新平台，学以致用

实验班的培养目标要求逐步提升数学素养、养成学生的数学思维、解决实际问题的能力、具有初步的科研能力，因此在教授课程中需要引导他们科学思维的养成，讲到一些重要应用知识时可以指出这个定理或知识点在科学研究中怎样应用的，甚至可以用实际的例子让同学们用所学知识进行计算，这样更加深了对知识的掌握，并增强了他们学习知识的欲望。除了在课堂上引导学生有意识的进行探索性学习，也要充分利用大学生创新平台，鼓励他们进行创新课题研究，或参与到老师们的科研中来，给他们布置一些力所能及的具体问题，既锻炼了他们的能力，又使所学知识现学现用。可以鼓励学生积极参加大学生数学竞赛，这个项目对拔高他们的数学能力有很大的帮助。同样可以动员他们参与到大学生数学建模中来，这个项目可以锻炼学生运用软件的能力、训练论文写作的规范等很多能力，对他们的综合能力的提高大有裨益。

参考文献

[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上下册，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]华中师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]伍胜健.数学分析（第一、二、三册）[M].北京：北京大学出版社，2009.

[4]郭大钧，陈玉妹，裘卓明.数学分析[M].济南：山东科学技术出版社，1982.

[5]郭大钧.“数学分析”课的教学与研究[J].高等数学研究，2010，13（4）：110-114.