微课在“阿贝尔定理”教学中的运用

青梅 额尔敦布和

摘要：微课是一种“短小精悍”新的教学模式，也是一种较为有效的教学方式。文章以“数学分析”课程中的阿贝尔定理为例，介绍了微课教学中的教学过程和具体的内容设计。微课为学生课前自主学习和课后巩固复习提供了教学资源，进而提高学习效率。

关键词：微课；数学分析；阿贝尔定理；应用

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）26-0185-03

一、引言

2008年美国新墨西哥州圣胡安学院的高级教学设计师、学院在线服务经理戴维·彭罗斯首次提出“微课程”（Micro-lecture）概念。在国内，胡铁生提出：微课是根据新课程标准和课堂教学实践，以教学视频为主要呈现方式，反映教师在针对某个知识点或环节的教学活动中所运用和生成的各种教学资源有机结合体[1]。根据文献[2-6]所述，微课就是针对某个知识点或教学环节而精心设计，以短小精悍的微型流媒体教学视频为主要载体的数字化学习资源包。简言之，微课是一种新媒体、新技术、新工具和新教学模式。随着“微时代”的到来和当代教育发展的趋势，微课在国内高等教育领域内得到了迅速发展。其特点主要有如下几点。

（一）教學时间短

教学视频是微课的主要部分，其时间一般5—10分钟，不超过20分钟。微课教学时间比传统课堂教学的时间短。

（二）教学内容少

微课是围绕某一个知识点或课堂教学中的重点、难点作为讲解内容的主题突出、指向明确、内容精简、相对完整的微小课堂。也可以理解为微课内容是传统课堂教学内容的相对完整的部分内容。

（三）随时、随地学习

因资源容量较小，学生可将教学视频下载或保存至终端设备上，随时学习、随地学习、可反复播放教学视频加强重点学习。这是传统课堂教学模式无法实现的。微课也适合学生课前自主学习和课后巩固复习，是有效提高学生学习效率的教学模式。

二、微课在“数学分析”课程教学中的运用

《数学分析》是高等院校数学系各专业的重要基础课程之一，为后续课程的学习起铺垫作用，如复变函数、实变函数、常微分方程和偏微分方程等课程。因数学分析内容的抽象性、严谨性、精确性及逻辑性，对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力等都有较高的要求。又基于数学分析的重要性，不仅迫使学生学好数学分析，也迫使教师们不断地探索新的教学模式[7]。那么教师们如何引起学生学习数学分析的兴趣并提高学习效率呢？

提高教学效率方法多种多样，微课是一种提高教学效率的手段。根据实际教学，教师们可将微课与传统教学有机结合，激发学生学习数学分析的兴趣并提高学习效率。教师在课前设计并制作微课，即制作课前预习、课堂学习、课后巩固内容的教学视频。微课制作注意以下几点：

1.短时间内抓住学生的注意力，激发学生学习兴趣。注意力的集中可以大大帮助学生提高学习效率。

2.数学分析内容较抽象、逻辑性强，讲解法应简单易懂。很多定理可以由已知结果一步一步推导出来。如此，不仅将新旧知识联系起来，达到知识的系统化，也简化或突破定理证明这一难点。

3.讲解要有直观、生动、形象的效果。用数学的角度看待生活中的现象，运用数学知识解释这些现象（或用数学知识解决实际问题），可利用数学软件（Matlab、Maple、Mathematica等）将其模拟出，达到直观、生动、形象的效果。

三、“阿贝尔定理”的微课教学设计

下面我们以《数学分析（二）》中阿贝尔定理的讲解为例[8]，分析微课教学过程与内容设计。

（一）教学内容

阿贝尔定理：若幂级数■anxn在x=x■≠0处收敛，则对满足不等式xx■的任何x，幂级数发散。

如下为该内容的教学思路：

1.导入新课：由生活中的现象导入幂级数概念，并讲解幂级数在微积分中的地位，激发并增强学生的学习兴趣。

2.由已知推导未知：利用等比级数的收敛域（已知结果）推导出幂级数的敛散性（未知结论），即阿贝尔定理。

3.深入探究：分析阿贝尔定理，图形分析，得出幂级数的收敛域的结构特征。

4.巩固练习：讲解例题，加强该内容的理解。

5.总结与思考：为巩固该内容的记忆，总结并留两个思考题。

（二）教学过程及其设计

1.导入新课：播放小朋友跳蹦蹦床的动画，提出在数学中怎么模拟蹦蹦床的表面震动？

学生对问题进行思考、分析、讨论，可培养学生独立思考能力，增强学生学习兴趣，推动学生学习动力；也将生活中的现象与数学联系起来，达到学生以数学角度分析生活中的种种现象；教师引导学生分析该问题，引出幂级数定义。在Matlab中画出两条曲线（0阶和3阶贝塞尔函数）如图1，将其绕y轴旋转，得到以小朋友的落脚点为中心的两个模拟的曲面，见图2、3；两条曲线的解析表达式是贝塞尔函数，正是一类特殊的函数项级数——幂级数；进而给出幂级数的严格定义。幂级数是多项式的推广也是一类特殊的函数项级数，在微积分的研究中起重要作用。

利用贝塞尔函数在Matlab中模拟蹦蹦床的震动，图形分析，引出幂级数定义，给学生留下直观、生动、形象的认知；同时也能培养数学专业学生们利用Matlab解决实际问题能力。

2.由已知推导未知：利用等比级数■qx■=■，q≠0的收敛域（-1，1）和逆向推导法，定性地刻画幂级数■anxn的敛散性，即阿贝尔定理。比较等比级数与幂级数，区别在于它们的系数。若幂级数的系数构成的数列a■有界，则可利用等比级数的敛散性与正数项级数的比较判别法，得到幂级数在区间（-1，1）内收敛；此时，可逆向推导出满足该结论的条件为幂级数在x=1处收敛；将x=1换为x=x■≠0，同理得到的结论——幂级数在区间（-x■，x■）内收敛；进一步，若幂级数在点x=x■≠0发散，则利用反证法思想得到幂级数在区间（-∞，-x■）∪（x■，+∞）内发散。换句话说，若幂级数在一点处收敛，则在以零为中心的一个对称区间内收敛；若幂级数在一点处发散，则在两个区间内发散。

比起先给出阿贝尔定理结论，再进行证明，利用等比级数的敛散性（已知结果）推导出阿贝尔定理（未知结论），更让学生容易接受。

3.深入探究：分析阿贝尔定理的结论，利用动画展示其分析结果。阿贝尔定理定性地刻画出幂级数收敛域的结构特征——以零为中心的某一个对称区间。幂级数在x=a点收敛，在x=b点发散，则有下图情形（图4）：

若收敛点远离零点，发散点接近零点，最终收敛点与发散点相遇，即有下图情形（图5），重点可能收敛亦可能发散。

4.巩固练习：再通过简单的例子帮助同学们更好地理解幂级数收敛域的结构特征，并检验自己的学习成果。

5.总结与思考：幂级数是多项式的推广，也是特殊的函数项级数。阿贝尔定理定性地刻画了幂级数的收敛域的结构特征，即以零为中心的某一个对称区间。

留思考题：

1.定量地怎么求出幂级数的收敛域呢（可引出下一个知识点——收敛半径及其求法）？

2.查阅资料，找出贝塞尔函数的其他应用（培养学生的查阅资料能力并激发学生学习兴趣）。

四、总结

综上所述，微课是一种新媒体、新技术、新工具和新的教学模式，也是一种较为有效的教学方式。它能够很好地将理论与实践结合起来，加深学生对理论知识的理解，提高学生对教学内容的更直观、生动、形象的认知。微课教学模式不仅能有效激发学生学习数学分析的兴趣，也能更好地培养学生运用数学知识解释生活中现象的能力（或解決实际问题能力），最终达到提高学生学习效率的效果。

参考文献：

[1]胡铁生.“微课”：区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究，2011，（10）：61-65.

[2]肖安庆.关于微课教学的几点思考[J].青年教师，2013，（2）：42-43.

[3]焦建利.微课及其应用与影响[J].中小学信息技术教育，2013，（4）：13-14.

[4]肖安庆.关于微课教学的几点思考[J].青年教师，2013，（2）：42-43.

[5]呈岚，肖贵桥，王英，朱莉.微课教学设计思路探讨[J].江西职业技术学院学报，2013，（26）2：79-81.

[6]周根娇，蔡岗，袁小平.微课在《数学分析》教学中的应用[J].现代企业教育，2014，（22）：432-432.

[7]额尔敦布和，刘修路，王静宇，白秀.关于“数学分析”课程的教学对策探析[J].大学教育，2013，（5）：109-113.

[8]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）下册[M].北京：高等教育出版社，2010.