关于素环上的内导子

冯骥

摘要：讨论了素环理想上内导子的交换性质。设R是一个素环，I为R的一个非零理想，Ia（x）=[x，a]为R的一个内导子，其中a为R中一个固定元素，如果对任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy或Ia（xoy）+xoy=0，那么R是可交换的。

关键词：素环;内导子;交换性

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）20-0275-02

一、引言及引理

关于环上导子的研究始于Posner[1]，他在1957年证明了非零中心化导子的素环一定为交换环。近些年，很多学者研究了环上导子的交换性，对环的研究具有深远影响。2002年，Ashraf和Rehaman[2]证明了对任意的x，y∈U，都有d（xoy）=xoy或d（xoy）+xoy=0的情况，本文将其推广到内导子上，得到一些结论。

设R是任意结合环，对于任意的x，y∈U，d是环R上的可加映射，若d（xy）=d（x）y+xd（y），则称d为环R上的导子。

设R是素环，d是R上的一个导子，对一个固定元素

a∈R，映射Ia∶R→R，Ia（x）=[x，a]是一个导子，我们称其为R上的一个内导子[3]。

引理1：如果一个素环R包含一个非零的可交换的右理想，那么R也是可交换的。

引理2[4]：设R是一个素环，I为R的一个非零右理想，如果d是R上的一个非零导子，那么d也是I上的一个非零导子。

二、主要结论

定理1：设R是一个素环，I为R的一个非零理想， Ia（x）=[x，a]为R的一个内导子，其中a为R中一个固定元素，如果对任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy，那么R是可交换的。

证明：（1）对任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy.

如果Ia（x）=0，那么xoy=0，对任意的x，y∈I.

用yz代替y得：xo（yz）=0

利用基本恒等式得：（xoy）z-y[x，z]=0

所以y[x，z]=0，x，y，z∈I，从而IR[x，z]=0，x，z∈I.

由于I≠0且R是一个素环，可知[x，z]=0，x，z∈I，由引理1可知R是可交换的。

（2）如果Ia（x）≠0，那么对任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy.

展开得：

[xy+yz，a]=xoy

（xy+yx）a-a（xy+yx）=xoy

xya+yxa-axy-ayx=xoy

xya+yxa-axy-ayx+xay-xay+yax-yax=xoy

（xay-axy）+（yxa-yax）+（xya-xay）+（yax-ayx）=xoy

（xa-ax）y+y（xa-ax）+x（ya-ay）+（ya-ay）x=xoy

Ia（x）y+yIa（x）+xIa（y）+Ia（y）x=xoy

即：Ia（x）oy+xoIa（y）=xoy x，y∈I（1）

用yx代替（1）式中的y，可以得到：Ia（x）o（yx）+xoIa（yx）=xo（yx）

展开得：

[x，a]（yx）+（yx）[x，a]+x[yx，a]+[yx，a]x=（xoy）x

[x，a]（yx）+（yx）[x，a]+（xy）[x，a]+x[y，a]x+y[x，a]x+[y，a]xx=（xoy）x

[Ia（x）oy]x+（xoy）Ia■（x）+[xoIa（y）]x=（xoy）x

[Ia（x）oy+xoIa（y）-（xoy）]x+（xoy）Ia（x）=0

利用（1）式可得，（xoy）Ia（x）=0.再用zy代替y，可得

（xozy）Ia（x）=0.

利用基本恒等式展开得：z（xoy）Ia（x）+[x，z]yIa（x）=0

因此[x，z]yIa（x）=0，对任意的x，y，z∈I都成立，即 [x，z]IRIa（x）=0.

因为R为一个素环，所以[x，z]I=0或Ia（x）=0.

令I1={[x，z]I=0，x，z∈U}，I2={Ia（x）=0，x∈I}.

那么I1和I2都是I的子群，并且I1∪I2=I，所以I=I1或I=I2.

如果I=I2，那么由引理2，对所有的x∈I都有Ia（x）=0，与假设相矛盾，因此I=I1.

那么对所有的x，z∈I，都有[x，z]I=0，即[x，z]RI=0.

由于I≠0，故[x，z]=0，对所有的x，z∈I都成立.

由引理1可知R是可交换的。

用一样的方式可以证明：

定理2：设R是一个素环，I为R的一个非零理想，Ia（x）=[x，a]为R的一个内导子，其中a为R中一个固定元素，如果对任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）+xoy=0，那么R是可交换的。

参考文献：

[1]Posner E. C. Derverations in Prime Rings[J]. Proc.Amer. Math. Soc，1957，（8）：1093-1100.

[2]Ashraf M，Rehaman N.On commutativity of rings with derivations[J].Results in Math，2002，（42）：3-8.

[3]吴伟.素环理想上的广义导子[J].北华大学学报（自然科学版），2005，6（4）：293-295.

[4]Bell H.E，Martindale W.S.Centralizing Mappings of Semiprime Rings[J].Canad.Math.Bull，1987，（30）：92-101.endprint