数形结合法在解题中的有效使用

高慧明

数形结合法在每年的高考数学试题中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效.从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”.今后的高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图像和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想和方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的方法.复习中应提高用数形结合的思想和方法解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系.

【数形结合法概述】

1. 数形结合：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

2. 运用数形结合分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.

（2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.

（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图像时应设法选择动直线与定二次曲线.

3. 数形结合在高考试题中主要有以下六个常考点：

（1）集合的運算及Venn图；

（2）函数及其图像；

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；

（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图像求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用.

4. 数形结合的思想和方法是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：

（1）准确画出函数图像，注意函数的定义域；

（2）用图像法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图像，由图求解；

（3）在解答题中数形结合是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证.

一、构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围

总的来说“数形结合法”是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化.用好数形结合可以使我们更深入准确地理解数学问题.

1. 在数学中函数的图像、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.

2. 有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.

3. 利用数形结合解题，有时只需把图像大致形状画出即可，不需要画出精确图像.

4. 数形结合法是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度.

责任编辑 徐国坚