确定多面体外接球球心位置的两种基本方法

彭建开

多面体外接球问题，是全国卷考试命题的热点，纵观2010年到2017年这八年的全国卷试题都有考外接球（除2014年只有大纲文科卷考），因此掌握好这类问题的解法，也是高三复习备考中的基本要求.解决这类问题，关键是找到球心，而球是均匀的物体，所以几何体的中心就是球心，从这个角度来说，我们确定球心就是要找到几何体的中心. 对于规则的几何体来说，可能找到球心并不难，但对于一些不规则的几何体，找到球心就不是那么容易了. 本文介绍两种常见的找外接球的球心的方法.

方法一：补形确定球心

在多面体外接球问题中，直棱柱和长方体（包括正方体）的外接球球心不难找到. 如：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，和的则该球的表面积为（ ）

A. ？仔a2 B. ？仔a2 C. ？仔a2 D. 5？仔a2

因为是一个直棱柱，上下底面中心连线段中点就是球心，凡是直棱柱的球心都是如此.很多题目都是以这两个题目作为母题，进行变式.

1. 将棱锥补成直棱柱

例1.（广州执信中学2017- 2018学年高三期中理11）三棱锥A-BCD中，底面△BCD是边长为3的等边三角形，侧面三角△ACD为等腰三角形，且腰长为，若AB=2，则三棱锥A-BCD外接球表面积是（ ）

A. 4？仔 B. 8？仔 C. 12？仔 D. 16？仔

解析：

如图1，可知AB⊥平面BCD，所以只需要把三棱锥补成一个直棱柱，当直棱柱与三棱柱的外接球是同一个球，所以只要求出这个直棱柱的外接球的半径就可以了. 而这个球心就在上下底面中心的连线段的中点处，BO2=BC=，OO2=1，∴ BO1=R=2，外接球表面积S=4？仔R2=16？仔，选D.

例2.（华中师大附中2017-2018高三期中考试文9）如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）

A. 8？仔 B. 16？仔 C. 32？仔 D. 64？仔

解析：把三视图还原成直观图后，如图四，底面是个直角三角形，∠C=90°，AA1∥BB1，AA1⊥面ABC，所以要找外接球的球心，只要把这个几何体补成一个直三棱柱，就知道球心O在上下两个底面的外接圆圆心O1，O2连线段的中点上，外接球半径R=OA==2，S=4？仔R2=4？仔（2）2 =32？仔，选C.

小结：多面体外接球问题，若可以补形为直棱柱，则补形为直棱柱比较简单.

变式练习：

1.（执信2017- 2018学年高三期中文）三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A. 32？仔 B. C. D.

2.（2016广州一测10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A. 20？仔 B. C. 5？仔 D.

2. 补成长方体（正方体）

长方体和正方体的外接球问题比较容易，因为二者都是规则的几何体，长方体（包括正方体）的中心就是球心，即正方体的体对角线中点就是球心. 如：长方体的长宽高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

.

掌握了这些基本题型，很多类似的题就可以转化长方体（包括正方体）来解.

例1. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）

A. B. 2 C. D. 3

解析：如图8，因为AC，AB，AA1三条直线相互垂直，所以可以以此三边作为长方体的三条棱，补成一个长方体如图9，则长方体的对角线长l===13，所以外接球的半径R=，故选C.

例2. 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.

解析：如图10，正三棱锥P-ABC，所以可以把它补成一个正方体如图11，设正方体边长为a，3a2=（2）2，BC=2，CH==，PH==，正方体的球心到H的距离d=R-PH=-=.

小结：只要有三条相互垂直的棱，就可以尝试补形为长方体（或正方体）.

变式练习：

3. 某幾何体的三视图如图12所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A. 4？仔 B. 12？仔

C. 48？仔 D. 6？仔

4.（2017佛山一模文）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且PA=2，PB=3，PC=2，则此三棱锥的外接球的体积等于________.

方法二：过小圆圆心作垂线确定球心

若多面体不是规则图形，则寻找外接球的球心较为困难，但是可以用下面的方法去尝试，一个锥体的外接球球心，一定在过底面这个多边形所在的小圆的圆心的垂线上.

例1. 某几何体的三视图如图13所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（ ）

A. 5？仔 B. ？仔 C. 8？仔 D.

解析：直观图如图14所示，外接球球心一定在与三角形ABC的外心垂直的直线上，不妨设球心为O，所以OS=OA=R， （-x）2+12=（）2+x2，x=，R2=，S=4？仔×=，选D.

例2. 在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（ ）

A. 11？仔 B. 7？仔 C. D.

解析：如图16所示，要找到外接球的球心，考虑到三点A、B、C在球上，所以我们先设经过这三点的小圆圆心为O1，球心O一定在过O1与平面ABC垂直的直线上，设球心为O，过O作OH⊥SA，可知O1O=HA=1，OH=O1A，O1A是三角形ABC外接圆圆心，设它的半径为r，计算得BC=，=2r，r=，所以OA2=R2=OO12+r2=12+（）2=，所以外接球的表面积S=4？仔R2=4？仔×= ，故选C.

小结：过锥体的底面所在 的小圆圆心作垂线，球心就在此垂线上，再通过计算可以求出半径.

变式练习：

5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A. B. 16？仔 C. 9？仔 D.

6. 如图18，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（ ）

A. 2？仔 B. 4？仔 C. 8？仔 D. 12？仔

变式练习答案：1. B；2. D；3. B；4. ；5. A；6. D

责任编辑 徐国坚