回归课本，简约至美

雷小华

繁华落尽，还剩几世苍凉？寻寻觅觅，终将回归简约.2018年的全国高考数学已经结束，在经历了多年的探寻摸索之后，今年试题特点较往年显现更加回归课本，着力于检测考生的思维能力与数学素养，致力于显现课本本身内核所蕴含的简约之美！这一特点在三角题中亦是如此.本文仅对高考数学理科Ⅰ卷的三角题作出分析，仅供参考.

一、试题回顾

二、试题分析

今年三角试题有两道，试题立足课本基础知识，计算适度，有难有易，1小1大，分值稳定在17分. 由于小题作为压轴题，综合性强，有一定难度.解题情景都较熟悉，试题尽量避免与以往重复，在向课本靠拢的同时又有创新.

（一）填空题第16题

本题已知的函数f（x） =2sinx+sin2x 结构并不复杂，着意避开以往常规的熟悉模式，如f（x） =2sinx+cos2x 或f（x） =2sinx+sin 2 x 等. 若考生平时套路练得又多又熟，思考反易受以往固定模式的干扰.

「分析」

考生易知 f（x） 是最小正周期为2？仔 的周期函数，故问题转化为仅考虑在上[0， 2？仔]的最小值问题. 又知f（x）为奇函数，故问题又转化为仅考虑在[0， 2？仔]上的最大值问题，此时f（x）min=-f（x）max. 又由sinx与sin2x 在[0，2？仔]内的符号法则及单调性可知，f（x）取得的最大值应在（0， ）内取得.

对试题的外围分析能整体把握解题动态与方向，有利于敏捷高效作答.

「作答」

尋找突破口. 注意到f（x）中sin2x=2sinxcosx，发现f（x）=2sinx（1+cosx），若后继解题功力不够，会感觉前路迷雾重重，无法前行. 接下来，只有两种选择，要么知难而上，执着前行；要么改道而行，另求它法.前者将检测出考生的意志品质与数学能力的等级，后者同样能考查出考生灵活变通的思维品质与数学能力，若能准确作答，都是强者，若不能继续作答，则被淘汰.

1.下面将知难而上，执着前行者的途经之路列举几种：

【方法一】基本不等式

充分利用丰富的三角恒等变换公式，加上最后临门一脚（基本不等式）得解.

由f（x）=2sinx（1+cosx） = 2sinx·2cos2= 8sin·cos3=≤·（）2=，当且仅当3sin2=cos2，即tan=，即x=时，f（x）max=f（）=，故f（x）min=.

这里用到了基本不等式：a， b， c， d>0时，≥，或abcd≤（）4 .

或对函数f（x）进行平方得：

f 2（x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cos 2 x）（1+cosx）2

=4（1-cos x）（1+cosx）3

=（3-3cos x）（1+cosx）（1+cos x）（1+cosx）≤（）2.

故f（x）≤，从而f（x）min=.

【方法二】导数法

导数法是分析函数单调性而得知函数的最值方法，这是导数的拿手好戏！

由f ′（x）= 2cos x+2cos 2x=4cos 2 x+2cos x-2 = 2（2cos x-1）（cosx+1），令f′（x）=0，得cos x=，易知函数的最小正周期为2？仔，在[-？仔， ？仔]中，f（x）min=f（-）=-.

【方法三】换元导数法

利用三角函数中的“万能公式”进行换元，再结合导数进行求解.

万能公式如下：cosx=，sinx=. 令t=tan（tan有意义），则g（t）=2··1+=. 后续利用导数对g（t）=进行分析，得出答案，过程略去.

「点评」

高考试题在对应的题号内容上一般与往年试题会有人为的区别，正如“铁打的营盘流水的兵”，年年不同，年年出新.由于在课本导数这一章中有过用导数求三角函数最值的练习，而往年在第16题的位置上没有出现过这类试题，故今年就在这一位置出上一道形似而神不似的压轴题，既在意料之外，又在情理之中.

今年本题精妙之处在于平和却不平淡，看似平淡却不平庸，起初你或许会想用三角恒等变换常规思路去谋求解决，在并不能一蹴而就时，你要么知难而上，要么激流勇退转换思路，重新拾级而上，唯有不畏陡峭山路并能选好路线而努力攀登的人们才能到达光辉的顶点. 本题是一道考查核心素养有区分度的好题！

变式练习一

1. 已知函数f（x）=2sinx-sin2x，则f（x）的最小值是 .

2. 已知函数f（x）=2cosx-sin2x，则f（x）的最小值是 .

3. 过点（-1， 0），且倾斜角为？琢 的直线l与圆E：（x-2）2+y2=20 相交于A，B两点，若∠AEB=，则3sin 2 ？琢+sin2？琢 的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】

1. 解

由f′（x） = 2cosx-2cos2x = -4cos 2 x+2cosx+2 = -2（2cosx+1）（cosx-1），令f′（x） =0，得cosx=-，或cosx=1，易知函数的最小正周期为2？仔， 在[-？仔， ？仔]中， f（x）min=f（-）=-.

2. 解

由f′（x）=-2sinx-2cos2x = 4sin 2 x-2sinx-2=2（2sinx+1）（sinx-1），令f′（x） =0，得sinx=-，或sinx=1，易知函数的最小正周期为2？仔，在[-？仔， ？仔]中， f（x）min=f（-）=-.

3. C.

（二）解答题第17题

本题为解答题的第1道大题，为给考生营造平缓有利的过渡环境，题文设计简洁，着眼于课本基础知识与基本应用，让考生开个好头.题目不配图形，着意考查根据题意描绘图形的能力.

「分析」

在画出图形并进行分析后，为求出第（1）问中的cos∠ADB的值，考生需用正弦定理先求出sin∠ADB的值，而后用同角的平方关系再求出cos∠ADB的值；在解第（2）时，用余角的诱导公式先求出cos∠BDC 的值，最后用余弦定理求出BC 的大小.

「作答」

（1）在△ABD中，由正弦定理得=.

由题设知，=，所以∠ADB=.

由题设知， ∠ADB<90°，所以cos∠ADB==.

（2）由题设及（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB==.

在△BCD中，由余弦定理得：

BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC

=25+8-2×5×2×

=25.

所以BC=5.

「点评」

今年本道试题题干简约，凸现本学科的一大特色——简约之美！

近几年第17题理科都考查解三角形，估计只有今年的试题最让考生与广大一线教师更欣喜，更接受.解题过程思维自然，流畅，若拥有一定的基础知识与具备一定的运算能力的考生，一般都能作答好，旨在考查基础的分析问题与解决问题的能力.

试题根据已知条件在解答过程中先后用到了正弦定理、同角的平方关系、诱导公式与余弦定理，一步接着一步，一环紧扣一环选择并准确正用公式.试题回归课本，紧扣核心内容，注重基础知识与基本能力的考查，有利于指导中学老师平日的课堂教学，为中学数学高考复习指明了方向，估计这道高考试题的示范效果会有深远的意义！倘若高考试题8成都能如此，我看减负真正开始了！

变式练习二

1. 在平面四边形ABCD 中，∠A=45°，AB=2，BD=.

（1）若DC⊥AB，求cos∠BDC；

（2）若DC=3，求BC.

解答：（1）在△ABD中，由正弦定理得=.

由题设知，=，所以

sin∠ADB=.

由题设BD=>2=AB ，知∠ADB<45°，

所以cos∠ADB===.

由题设DC⊥AB ，知∠A=∠ADC=45°.

故cos∠BDC=cos（45°-∠ADB）=cos45°cos∠ADB+

sin45°sin∠ADB=（cos∠ADB+sin∠ADB）=（+）=.

（2）在△ABD 中，由余弦定理得：

BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC

=+9-2××3×

=.

所以BC=.

变式练习三

1. 在平面四边形ABCD 中，∠A=45°，AB=2，BD=.

（1）若△BCD 为等边三角形，求cos∠ADC；

（2）求AD.

解答：（1）在△ABD 中，由正弦定理得=.

由题设知，=，所以sin∠ADB=.

由题设知BD=>2=AB ，知∠ADB<45°，

所以cos∠ADB===.

由△BCD 为等边三角形，所以∠BDC=60°.

故 cos∠ADC = cos（60°+∠ADB） = cos60°cos∠ADB - sin60°sin∠ADB=×-×=.

（2）在△ABD 中，由余弦定理得：

AB2=BD2+AD2-2·BD·AD·cos∠ADB，

即4=6+AD2-2×AD·，

即AD2-4AD+2=0.

解得AD=2+，或AD=2-.

由∠ABD=180°-（∠ADB+45°）>180°-（45°+45°）=90°，

所以AD>，故AD=2-不合舍去，

所以AD=2+.

变式练习四

1. 在平面四边形ABCD 中，∠A=45°，AB=2，BD=，DB 为∠ADC的角平分线.

（1）求cos∠ADC；

（2）若△BCD 的面积为-1，求对角线AC 的长.

解答：（1）在△ABD中，由正弦定理得=.

由题设知，=，所以sin∠ADB=.

由DB 为∠ADC的角平分线，故cos∠ADC=cos2∠ADB =1-2sin2∠ADB=1-2（）2=.

（2）在△ABD中，由余弦定理得：

AB2=BD2+AD2-2·BD·AD·cos∠ADB，

即4=6+AD2-2×AD·，

即AD2-4AD+2=0.

解得AD=2+，或AD=2-.

由∠ABD=180°-（∠ADB+45°）>180°-（45°+45°）=90°，

所以AD >，故AD=2-不合舍去，

所以AD=2+.

又依题意得S△BCD=BD·CD·sin∠BDC=·CD·sin∠ADB =·CD·=-1，

故CD=2-.

在△ADC 中，由余弦定理得：

AC2=DC2+AD2-2·DC·AD·cos∠ADC

=（2-）2+（2+）2-2·（2-）（2+）·

=.

故AC=.

犹如上乘武功不一定需要用那十八般武艺，回归课本随手“摘叶飞花”也可尽显风釆.

今年一道压轴、一道保底的三角题都蕴含了数学基本知识和数学文化，在回归课本、紧扣内核上来做好文章，聚焦主干内容，突出关键能力，考查出学生的数学思维能力与数学素养.

今年高考三角题能引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学，杜绝偏题、怪题和繁难试题，广大师生拍手称快！

三、2019年高考备考建议

在2019年高考理科三角题的复习中，建议如下：

（一）回归课本，把握并吃透三角核心内容及相关应用；

（二）落实三角中的基础知识，基本技能，基本思想和基本活动经验，提高解题能力；

（三）在有区分度的三角压轴题上，要求考生有一定的数学综合能力.故建议考生在平时做题后，尝试一题多解，多题归一. 以发展核心素养为导向并贯穿始终.

若容颜老去，还有几人痴痴爱慕？夫数学真谛，惟有核心不离不弃！兜兜转转，离圆心最近最美的原來就是圆心！故回归课本，关注基础与主干，浓缩高考数学考点，既可以有效降低试卷难度，增加数学在高考总分中的权重比例，又能在考查数学能力的同时使数学核心素养熠熠生辉，简约至美，何乐而不为呢！

今年高考数学对三角的考查，回归课本，简约却不简单，平和却不平庸，有“摘叶飞花”之功，符合课改要求，实为师生喜爱.也许，面对当今社会被各校师生厌恶的加课、补课及教辅资料满天飞等顽症，若要彻底治愈的有效办法就是高考试题回归课本，简约至美！

愿一如既往，还社会一个“绿色环保”的教育，相信教育的春天已经来临！

责任编辑 徐国坚