直线与方程错漏寻踪

利翠玲

直线与方程在高考中一般以中、低档的选择题或填空题出现.考点有：倾斜角与斜率，斜率公式，直线的平行与垂直判定及应用，五种形式的直线方程，交点坐标，三种距离（点点、点线、线线），考查目的是能否用代数方法来对几何图形作出定性或定量的回答.考查重点为：①基本概念中的倾斜角与斜率；②位置关系中的平行与垂直；③数量中的距离计算；④求直线方程.本文将就直线与方程中的易错易混问题作一些分析.

一、斜率问题

例1. 已知直线l经过点（4， 8），且到原点的距离是4，求直线l的方程.

错解：设所求直线l的方程为y-8=k（x-4），可化为kx-y+（8-4k）=0.

由点到直线的距离公式可得=4，解得k=.

所以直线方程为y-8=（x-4），即3x-4y+20=0.

分析总结：

以上解法所设，仅仅考虑了斜率存在的情况，结合图形易知x=4也满足条件，所以上述解法是不完整的，漏掉了斜率不存在也符合题意的这一解：x=4. 故若将方程设为点斜式或斜截式，则应对斜率是否存在进行分类讨论，否则极易漏解.

再试身手

已知圆C：（x-1）2+（y-1）2=4，直线l过点P（2， 3）且与圆C交于A、B两点，且 | AB |=2，求直线l的方程.

〖答案〗x=2或3x-4y+6=0.

例2. 设直线l的方程为x+ycos？兹+3=0（？兹∈R），则直线l的倾斜角？琢 的范围是 .

错解：由直线方程可得斜率k=-.

∵ cos？兹∈[-1， 1]且cos？兹≠0，则k∈（-∞， -1]∪[1， +∞）.

则tan？琢∈（-∞， -1]∪[1， +∞），又？琢∈（0， ？仔），

∴ ？琢∈[， ） ∪ （， ].

分析总结：

此题同样忽视了当cos？兹=0时斜率不存在这一情况. 当cos？兹=0时，方程变为x+3=0，其倾斜角为，故倾斜角的范围应是[， ].

在倾斜角和斜率的关系中，若k=0，则倾斜角为0°；若k>0，则倾斜角为锐角，且k 随着倾斜角的增大而增大；若k<0，则倾斜角为钝角，且k 随着倾斜角的增大而增大；若k不存在，则倾斜角为90°.

再试身手

若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y[y-k（x+1）]=0有四个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）

A.（-， ） B.（-， 0）∪（0， ）

C.[-， ] D.（-∞， -）∪（， +∞）

〖答案〗B.

二、截距问题

1. 混淆截距和距离

例3. 求过点P（-5， -4）且与两坐标轴所围成的三角形面积为5的直线方程.

错解：设直线方程为+=1，且直线过点P（-5， -4），得+=1……①，

又ab=5，故ab=10……②

由①②无解，故直线方程不存在.

分析总结：

这里将直线在x轴和y轴的截距当成距离导致错解. 事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是.

2. 忽视截距为零

例4. 求经过点（2， 1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

错解：设所求直线方程为+=1.

由+=1且a=b得a=b=3.

∴ 所求的直线方程为x+y=3.

分析总结：

上述解法是以截距不为零为前提的. 事实上，当直线在两坐标轴上的截距都为零，即经过原点时，也满足题意，此时直线方程为y=x，故满足题意的直线方程为y=x或x+y=3.

截距相等包括两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解.因此，对于此类题目，需分类讨论求解.

再试身手

已知直线l：（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6的横、纵截距相等，求实数m的值.

〖答案〗m=3或m=-2.

三、求直線方程问题

1. 忽视与x轴平行的情况

例5. 已知直线l过（1， 2）、 （2， b），求直线l的方程.

错解：由两点式，得直线l的方程为=……③，

整理，得所求的方程为（2-b）x+y+b-4=0.

分析总结：

这里忽视了b=2，即与x轴平行的情况，若b=2，③式不成立.

一般地，过A（x1， y1）和B（x2， y2）两点的直线方程可写成（x2-x1）（y-y1）-（y2-y1）（x-x1）=0的形式. 在x2≠x1且y2≠y1时才写成=.

2. 忽视两条直线重合的情况

例6. 已知直线ax+3y+1=0与x+（a-2）y+a=0平行，求a的值.

错解：∵ =，解得a=-1或a=3.

分析总结：

上述解法忽视了两直线可能重合的情况. 因为当a=1时，==，此时两直线重合，所以a=-1舍去，故a的值为3.

3. 忽视直线的存在性的情况

例7. 已知直线l1： （m+3）x+（m-1）y-5=0与直线l2： （m-1）x+（3m+9）y-1=0互相垂直，试求m的值.

错解：直线l1 的斜率为k1=-，直线l2 的斜率为k2= -.

∵ l1⊥l2

∴ （-）（-）=-1，化简得=-1，m无解，故l1 与l2 不垂直.

分析总结：

实际上，上述解法是假设斜率已经存在，而当斜率不存在时的情况未作分析，导致两直线不垂直的错误结论.

对于两直线互相垂直的问题，宜用“两直线Aix+Biy+Ci=0（i=1， 2）垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0”，这样避免斜率是否存在的讨论.根据两直线的方程判断两直线的位置关系时，要特别注意斜率是否存在，对于斜率不存在的情况要单独考虑，注意斜率相等并不是两直线平行的充要条件，斜率互为负倒数也不是两直线垂直的充要条件.

再试身手

如果直线（m+4）x+（m2+6m+8）y=m+4与y轴平行，求实数m的值.

〖答案〗m=-2.

4. 过定点的直线系问题

例8. 求证：m为任意实数时，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5必过定点.

无论实数m怎样变化，直线必过某一定点，此题如何求出？有些学生只会求出但不怎么理解.其主要原因是对多变量的环境无法用运动变化的观点来把次元变为主元考虑，对这一做法不完全理解.下面给出正解.

证明：将原方程按m的降幂排列，整理得：

（x+2y-1）m+（x+y-5）=0.

此式对m的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m的一次项系数与常数项等于零，故有x+2y-1=0，x+y-5=0，解得x=9，y=-4.

∴ m为任意实数时，所对应的直线必通过定点（9， -4）.

分析总结：

在有关曲线过定点的问题中，无论曲线系中的参数如何变化，定点坐标均满足方程. 因此，对参数而言，原方程是恒等式，根据恒等式原理可以求出直线系所过定点的坐标.

常见直线系方程的两种形式：

（1）过定点的直线系：y-y1=k（x-x1），（k为变量，A（x1， y1） 为定点）；

（2）过两直线交点的直线系：直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2 x+B2y+C2=0，则过l1 与l2 交点的直线系：A1x+B1y+C1+？姿（A2 x+B2y+C2）=0（？姿∈R），其中该式不包括直线l2.

再试身手

方程（1+4k）x-（2-3k）y+2-14k=0 所确定的直线必经过点

（ ）

A.（2， 2） B.（-2， 2） C.（-6， 2） D. （3， -6）

〖答案〗A.

不怕錯，错后出真知.在直线与方程的学习中，只要我们做到对基本知识、基本方法、基本技能多一些理解，在实践中遇错能纠，反思求真，就能提高分析问题与解决问题的能力，提高数学的应用水平.

责任编辑 徐国坚