高考分段函数问题考点透视

李昭平

一般地，在自变量的不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数常常称为分段函数. 分段函数的定义域和值域分别是几段函数定义域和值域的并集. 分段函数问题往往融函数、方程、不等式、图像、导数等知识于一体，具有涉及面广、综合性强、解法灵活的特点，是高考经久不衰的高频考点. 下面结合近几年部分高考题和模考题透视考点，仅供参考.

1. 考查求函数值

例1. 设f（x）=， 0

（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

解析：由分段函数的结构知，其定义域是（0， +∞），所以a>0.

（1）当01，则f（a）=f（a+1）就是=2（a+1 -1）， a=. 于是f（）=f（4）=6.（2）当x>1时， a+1>1，则f（a） =f（a+1）就是2（a+1）=2（a+1-1），方程无解.

综上可知，f（）=6. 故选C.

点评：本题主要考查分段函数的定义域、分段函数的意义、分类讨论思想和方程思想. 在利用f（a）=f（a+1）构建方程时，要注意自变量的值在哪段内，不能代错分段解析式.

训练1：设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1， 1）上有f（x）=x+a， -1≤x<0|-x |， 0≤x<1其中a∈R. 若f（-）= f（），则f（5a）的值是 .

解析：因为f（x）的周期为2，所以-2，4，-4也是其周期.

于是f（-）=f（--2）=f（-）=-+a，f（）=f（+4）=f（）=|-|=.

由f（-）= f（），得-+a=，a=.

故f（5a）=f（3）=f（3-4）=f（-1）=-1+=-.

2. 考查求函数解析式

例2.（2018年皖江联盟模考卷文理13）若函数f（x）的图像是如图所示的折线段OAB，则函数解析式f（x）= .

解析：由图像可知，当x∈[0， 2]时，有y=2x.

当x∈（2， 4]时，由点（4， 0）和点（2，4），得=， 即y=-2x+8.

所以函数的解析式为f（x）=2x， （0≤x≤2）-2x+8. （2

点评：在求分段函数的解析式时，根据自变量取值范围的不同，要一段一段地求，类似于求多个函数一样，但最后要合并写成一个函数的形式.注意图像中有“尖点”的，往往是分段函数.

训练2：若函数f（x）的图像是如图所示的折线段OABC，则函数解析式f（x）=

.

解析：

y=2x， （0≤x<1）2， （1≤x<2）-x+4. （2

3. 考查函数值域问题

例3.（2017年合肥市模考卷理8）函数f（x）=logx， x≥12x， x<1的值域是（ ）

A.（-∞， 0] B.（-∞， 2） C.（0， +∞） D.（2， +∞）

解析：当x≥1时，f（x）=logx单调递减，f（x）≤f（1）=log1 =0，此时的f（x） 值域是（-∞， 0]. 当x<1时，f（x）=2x单调递增，f（x）

综上可知，f（x） 的值域是（-∞， 2）. 故选B.

点评：分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 值域只有一个，不能分段回答其值域. 處理分段函数值域问题一般有两种方法：一是先分段求值域，然后取并集；二是作出分段函数的整体图像，观察得到其值域.

训练3：若函数f（x）=-x+m， x

解析：当x≥e时， （x-ln x）′=1->0，此时函数 f（x）在[e， +∞）上单增，值域是[e-1， +∞）. 当x

因此（-+m， +∞）？哿[e-1， +∞）. 于是-+m≥e-1，解得m≥-1. 即实数m的取值范围是[-1， +∞）.

4. 查解函数不等式

例4.（2018年高考课标Ⅰ卷文12）设函数f（x）=

2-x， x≤01， x>0 则满足f（x+1）

A.（-∞， -1] B.（0， +∞） C.（-1， 0） D.（-∞， 0）

法1（图像法）：首先根据分段函数的解析式，画出对应范围内的图像.

从图像中可以看出，要使f（x+1）

法2（特殊值法）：取x=-，

则f（-+1）=f（）=1， f（2·（-））=f（-1）=2. 因此， f（-+1）

再取x=-1，则f（-1+1）=f（0）=1，f（2·（-1））=f（-2）=4，

因此（-1+1）

点评：本题是已知函数值的大小，反过来确定自变量的取值范围，属于逆向设置问题.主要考查分段函数的图像、单调性与数形结合的思想. 法1是根据分段函数的解析式，快速准确地画出分段函数的图像来确定单调性和等价的不等式组，再求自变量的范围. 法2则是利用特殊值法，根据“命题在一般情况下为真，则在特殊情况下也为真”、“命题在特殊情况下为假，则在一般情况下也为假”迅速排除错误答案.对于某些有关函数的图像、函数值、参数范围、函数不等式、最值等问题的选择题，有时运用“特殊值法”，往往事半功倍.

训练4：（2017年高考课标Ⅲ卷理15）设函数f（x）=

x+1， x≤02x， x>0 则满足f（x）+f（x-）>1的x的取值范围是____.

解析：数0， 将x轴分成三段，分别讨论：

（1）当x≤0 时，x-<0，则x+1+x-+1>1，所以-

（2）当01，所以0

（3）当x>时，x>0，则2x+2+2>1，所以x>.

综上可知，满足f（x）+f（x-）>1的x的取值范围是

（-，+∞）.

5. 考查函数图像

例5.函数y=2x2-e|x| 在[-2， 2]上的图像大致为（ ）

解析：y=f（x）=2x2-ex， （0≤x≤2）2x2-e-x， （-2≤x<0） 当0≤x≤2时，f′（x）=4x-ex. 此时，f′（）=1-e<0，立即排除A和C. 又计算f（2）=8-e2<8-2.72<1，排除B. 故选D.

点评：本题具有一定的思维深度，y=2x2-e|x| 是超越复合型函数，用传统方法往往无法画出其图像. 其实符号 |x| 就暗示我们可以分类变成分段函数来处理.解这种非常规型函数的图像问题，要注意灵活运用导数法和特殊值法进行处理.

训练5：（2018年南昌市模考卷理8）函数y=x2-e|x| （x∈R）的图像可能是（ ）

解析：y=f（x）=x2-2x， x≥0x2-2-x， x<0 显然原函数是偶函数，立即排除B，D.

由解析式可知，2，4是函数的两个零点，可以考虑2

当2y2，即y>0，排除A. 故选C.

6. 考查函数最值问题

例6. 设a∈R，f（x）=x3-3x， x≤a-2x， x>a （1）若a=0，则f（x）的最大值为 ；（2）若f（x）无最大值，则a的取值范围是 .

解析：（1）当a=0时，由（x3-3x）′=3x2-3=0，得x=±1，如图1是分段函数f（x）的图像. 观察图形可知，最高点是 （-1， f（-1）），即（-1， 2），所以f（x）的最大值为2.

（2）当a=-1时，如图2，有最大值2，不合题意.

当a>-1时，如图3是x3-3x在R上的图像，此时f（x）总有最大值，不合题意.

当a<-1时，如图4.

f（a）+2a=a3-3a+2a=a（a+1）（a-1）<0，（x3-3x）max<-2a，而-2x在x>a时无最大值. 满足题意.

综上可知，实数a的取值范围是（-∞， -1）.

点评：本题主要考查分段整式函数的图像、导数处理三次函数、数形结合思想、分类讨论思想. 对（1），在求分段函数的最值时，一般是先求出每段的最值，各段最值中的最大（小）者，才为整个函数的最大（小）值，也可以观察整个分段函数图像的最高点或最低点得到函数的最大值或最小值. 对（2），a的变化影响到图像的位置，a=-1是一个临界点，分a=-1，a>-1或a<-1三类进行讨论.

训练6：（2017年济南市模考卷理15）若函数 f（x）=

x+2， x≤21+log a x， x>2（a>0，a≠1）的最大值是4，则a的取值范围是

.

解析：若a>1，則函数3+log a x在x>2时单增，没有最大值，因此必有0

此时3+log a x在x>2时，满足 f（x）< f（2）=1+log a 2.

而 f（x）=x+2在x≤2时的最大值是4. 因此应有1+log a 2≤4，解得0

故实数a的取值范围是（0， ）.

7. 考查函数零点问题

例7.（2018年安庆市模考卷文15）已知函数f（x）=

1， （x≤0）， （x>0）则函数g（x）=f（x）-的零点个数是 .

解析：显然，当x≤0时，f（x）=没有解. 当x>0时，=，即 |sinx| =x.

由于0≤ |sinx| ≤1，直线y=x 经过（8， 1），只要考虑直线y=x 和曲线y= |sinx| 在区间（0， 8] 上的交点个数.

画出草图，不包括（0，0），有5个交点.

故函数g（x）的零点个数是5.

点评：求分段函数的零点，必须先求出各段上的零点，再取并集. 本题在处理时 |sinx| =x，易忽视区间（0， 8] 而得到6个零点的错误答案. 处理函数f（x）的零点问题主要有两种方法：一是直接求f（x）=0的实根或f（x）的图像与x轴交点的横坐标；二是将f（x）“一分为二”为f（x）=g（x）-h（x），再考察两个函数g（x）和h（x）图像的交点个数.

训练7：（2018年高考浙江卷理15）已知λ∈R，函数f（x） =x-4， x≥λx2-4x+3， x<λ若函数f（x）恰有两个零点，则λ的取值范围是 .

解析：当有y=x2-4x+3两个零点时，λ>4.

当y=x2-4x+3有一个零点1时，y=x-4有一个零点4，则1<λ≤3.

故λ的取值范围是（1， 3] ∪ （4， +∞）.

8. 考查求参数范围

例8.（2017年高考天津卷理8）已知函数f（x）=x2-x+3， x≤1x+， x>1 设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a| 在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）

A.[-， 2] B.[-， ]

C.[-2， 2] D.[-2， ]

解析：f（x）≥|+a| 等价于-f（x）≤+a≤f（x）.

当x≤1时，就是-x2+x-3≤+a≤x2-x+3，即-x2+x-3≤a≤x2-x+3-（x-）2-≤a≤（x-）2+，所以-≤a≤.

当 x>1时，就是-x-≤+a≤x+， 即-x-≤a≤x+.

而-x-≤-2，当且仅当x=时取等号. x+≥2，当且仅当x=2时取等号. 所以-2≤a≤2. 综上可知-≤a≤2，选答案A.

点评：本题主要考查分段函数的意义、二次函数与双勾函数的最值、恒成立不等式、参变分离思想等. 要注意分段讨论后得到的a的范围应取交集. 能否将恒成立不等式f（x）≥|+a| 等价变形是解题的关键.一般地，|f（x）|≤g（x）？圳-g（x）≤f（x）≤ g（x）；|f（x）|≥g（x）？圳f（x）≤-g（x）或|f（x）|≥-g（x）.

训练8：（2018年高考课标Ⅰ卷理9）已知函数f（x）=

ex， x≤0ln x， x>0 g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A.[-1， 0） B.[0， +∞） C.[-1， +∞） D.[1， +∞）

解析：“g（x）=f（x）+x+a 存在两个零点”就是“曲线y=f（x）与直线y=-x-a 有两个交点”. 函数f（x）的图像如右：要使得动直线y=-x-a 与f（x）的图像有两个交点，必须且只须-a≤1，即a≤-1. 故选C.

9. 考查面积范围问题

例9.设直线l1，l2分别是函数f（x）=-ln x， 01 图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）

A.（0， 1） B.（0， 2） C.（0， +∞） D.（1， +∞）

解析：设P1（x1， y1），P2（x2， y2），由题意，不妨设0

因为f′（x）=-， 01所以l1的斜率k1=-，l2的斜率k2=.

又l1与l2垂直，所以k1·k2=-1，即-·=-1，x1x2=1.

写出切线l1与l2的方程分别为， l1： y=-（x-x1）-ln x1……①

l2：y=（x-x2）-ln x2……②

联立①②解得交点P的横坐标x==.

由①得点A的坐标为（0， 1-ln x1），由②得点B的坐标为（0， -1+ln x2）.

于是 |AB|=2-ln x1-ln x2=2.

故S△PAB=·|AB|·=≤=1，当且仅当x1=x2=1时等号成立，与0

点评：本题主要考查导数的几何意义、曲线的切线方程、解方程组、基本不等式，以及分析、推理、运算能力和数形结合思想，具有结构新颖、运算量大、交汇性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力，有较大的难度.

训练9.（2018年海口市模考卷文10）设直线l1，l2分别是函数f（x）=e-x-1， -2

解析：因为点P1（-1， m）和点P2（1， n）在函数f（x）的图像上，所以m=e-1，n=1. 在P1（-1， e-1）处的切线l1的方程是y-e+1=-e（x+1），即y=-ex-1. 在P2（1， 1）处的切线l2的方程是y-1=2（x-1），即y=2x-1. l1与l2相交于点P为（0， -1）， A（-， -1）， B（， 0）.

于是△PAB的面积是×（+）×1=.

10.考查实际问题

例10.（2018年高考上海卷19）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当S中x%（0

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式，讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义.

解析：（1）f（x）>40，得2x+-90>40，解得45

故当S中的自驾成员在45%到100%之间时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.

（2）g（x）=x%·f（x）+（1-x%）·40=40-x， 0

而二次函数x2-x+58的对称轴是x=-=32.5，所以函数g（x）在（0，32.5）内单减，在（32.5，100）内单增，说明当有32.5%以上的人自驾时人均通勤时间开始增加.

点评：本题主要考查分段函数的实际应用，注意分类讨论和实际问题中自变量、函数的意义与范围. 其实，在现实生活中存在着大量的分段函数模型，解题的关键在于阅读、理解和迁移实际问题，转化为我们熟悉的东西来处理.

訓练10：某网民使用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费（即电话费）与网络维护费两部分.现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时.

（1）将该网民在某月内在家上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数；

（2）试确定在何种情况下，该网民在家上网较便宜？

解析：（1）时间t要分成三段.当025时，y=t+30.

于是y=10+1.2t，（025）

（2）由t+30<1.5t？圯t>60.上网时间超过60小时，则在家上网较便宜.

以上对分段函数问题的高考考点进行了十个方面的梳理和总结. 不难看出， 分段函数问题在高考中主要以选择题或填空题的形式出现，并且试题的位置在逐渐后移，这意味着广度、深度和难度都在不断加大. 特别是导数的引入，拓宽了高考对函数问题的命题空间和解题空间，以致在近年来的高考中，对分段函数的考查形式更加丰富、更加活泼、更加新颖. 分段函数的特征决定了分类讨论思想是处理该问题的核心思想方法，必须切实掌握， 处理好整体与局部的关系. 当然，数形结合思想、导数思想、方程思想、一分为二的思想、转化思想也常常发挥重要作用.

责任编辑 徐国坚