2018年高考全国数学Ⅰ卷评析

许少华

2018年全国高考数学（I）卷分文、理两卷，共性是观点明确、特点突出.都有一批求新、求稳、突出重点的好题.既考查了考生在高中阶段所学知识的掌握程度，又考查了考生进入高校继续学习的数学潜能. 都是融知识、能力、素质于一体的优秀试卷，对今后的教学起着重要的导向作用. 广东考生考后的基本情况是：文科平均分为66分，比去年多了10分左右.理科平均分为78分，比去年多了5分左右，无论文、理都比去年平均分高了. 分数提高的原因是试题难度较去年有所下降、更适合广东的考生了. 也因为难度下降，考后大部分考生的心情都很好，直接或间接的影响了家长与老师，从而带动了整个社会对本次试卷的评价较好，下面我从一位教师的角度来和大家一起分享一下本套试卷.

1. 试卷的几大特点

1. 1基础题重在考查基础知识与基本方法. 统观全卷，基础题分值约占70分，这些基础题真正做到了考查基础知识与基本方法，看看理科第2题会解一元二次不等式及求补集运算即可.第4题等差数列的前项和公式与通项公式，也仅需要会这些基本公式的应用即可.第5、6、7、8题虽然都有点“小弯弯”，但稍有基础的考生都很快会发现思路，并立即产生正确答案.这些小题很基础、运算量也较小，且排列在试卷的较前的位置，给很多考生较大的信心与鼓励，使顺利完成全卷奠定的良好的基础.

1. 2部分试题涉及的知识面广，思路和方法灵活多样. 如理科第12、16题，文科的第12题等. 理科第12题“每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求面截正方体所得截面面积的最大值”，显然，这是一个由动态到静态的过程，在这个过程中寻求最值，但平面在哪里？让我们最易认识的位置在什么时刻？只有找到了这些，也许才能更好的求解它. 理科第16题存在多种求解方法，条条道路通“罗马”，而你仅需要一条，这一条路你遇到了吗？

1. 3加强数学思想的考查，数学思想是数学的精髓，对数学解题具有指导作用. 本卷中主要考查的数学思想有：数形结合思想，如理科的第2、6、7、9、13题.分类讨论思想，如第15、21的第一问. 特殊化思想，如第8题. 化归思想，如第10、12题.转化思想，如第18、19、20题等.

文科最为典型的是第12题用数形结合思想先画图，结合图形再分类，两种数学思想交相辉映，恰到好处的产生结论.第21题转化思想的运用，使不等式的证明逐步转化，慢慢地将一个隐含的、不易证明的不等式问题转化为一个明朗、清晰的不等式.

数学思想、方法的合理选择，可以看出考生思维的灵活性，把数学思想方法置于数学试题之中可以很快的抓住问题的本质，准确的将问题转化，从而顺利地进行求解.

1. 4精巧试题层出不穷，亮点随处可见. 一套优秀试卷绝非是试题难度很大的试卷，本次试题无论是理科还是文科难度都不算大，但试题的设计却十分精巧.看看理科的第3、4、5、7、7、8、10、11、12、14、16.再看看文科的第2、3、5、6、8、9、10、12、16等.这些试题绝不是送分，绝不可能“一望而解”，很多考生可能会有似曾相识的感觉，那是平时“刷题”的结果. 但更有“清新”之意，这些题知识点是旧的，但背景、试题形式都是新的，用现今流行的说法是“原创”，它们的大量出现，增加的试题的信度.

1. 5加强对算运算的合理性与科学性的考查. 2018年高考考纲明确指出：运算能力包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列過程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. 理科第16题，表面上看是一道三角函数的最值问题，动手做一做才发现：远没有那么简单. 不仅要分析的合理、准确，更要方法科学、得当. 第18题无论是用传统的立几方法还是用空间向量，其中合理与科学的运算是必不可少的.理科第19题与文科第20题都是解析几何试题，特别是第二问求解，对运算的合理性与科学性要求较高，不然，过程比较麻烦，也许还会出现“心有余而力不足”的尴尬情境，加强这方面的考查，也许是今后一个时期的重点，值得我们关注.

1. 6 注重知识的交汇性. 关注知识的内在联系和综合，在知识网络的交汇点处设计试题，是高考命题改革与发展的基本要求，本套试卷较准确的突出了这一要求. 理科第5题函数的奇偶性与导数、切线等结合.第8题解析几何与平面向量交汇. 第18题是立体几何与空间向量的交汇.第20题是排列、组合、概率与导数的应用联系在一起等. 第21题是函数与不等式等结合.交汇性试题是考查知识综合应用及考生的综合能力的主要题型，正常情况下高考的解答题都要具有交汇的特点.选择题与填空题中的部分试题也会注重这一要求.

1. 7热点、重点内容的考查. 函数是贯穿中学数学的一条主线，作为中学数学的主干知识、重点内容，在此次考试中被淋漓尽致的体现出来. 理科第5、9、16、21都是实实在在的函数，总分27分. 文科呢：第6、8、12、13、21题，总分32分. 可以说，重点，就是重点，高考命题一定会重视的.

另一个古老的热点问题：应用性与数学文化试题，理科体现的较为充分，看看第3题、第10题、第15题及第20题，可以说要易有易、要难有难，无论你是哪个层次，都有对你“口味”的试题，或者说它也在悄悄的量你的“身高”.

1. 7 个别试题是陈题，经过简单改编产生. 为了比较方便，我会把原题与考题分别给出：

理科第19题“设椭圆C ∶ +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程.（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.”2015年全国I卷理科第20题“在直角坐标系xOy中，曲线C ∶ y=与直线y=kx+a（a>0）交与M，N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由”，稍作对比即可发现这两题关键的第二问很相似.

理科第21题“已知函数f（x）=-x+alnx.（1）讨论f（x）的单调性. （2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：

在追求原创的今天，如何解释这个问题呢？也许命题者深知“刷题之苦”，在此处故意漏下一笔也让刷题者“会心”一次. 但你可知道，在高考竞争如此激烈的情况下，你这一漏把“公平”给漏掉了，让未刷到此题的考生人多么恼火吗？也让那些苦苦设计知识点、线、面综合试题，以求全方位覆盖的老师感到多么失望. 不是陈题不可用，是要进行较大改编后再用，毕竟高考不是一般性考试.

上述是本次试题的大致特点，下面我们一齐来欣赏一下具体试题.

2. 好題赏析

2. 1. 易错题

理科第3题：某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

分析与评 本题注意到“增加了一倍”后，很快会发现60%<37%×2从而产生正确结论A，但粗心的人会发现A是对的，错的结论是C因为都是30%，何来增加一倍呢？此陷阱设计得相当的好.

2. 2. 知识点交汇型

理科第5题：设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）

A. y=-2x B. y=-x C. y=2x D. y=x

分析与评 注意到奇函数，则奇次方的系数一定为零，立得a=1，于是有f ′（x）=3x+1，得f ′（0）=1，从而得答案D. 本题将函数的奇偶性与导数的应用结合，虽不难，但首先确定a的值成了关键.

文科第12题：设函数f（x）=2-x，x≤01，x>0则满足f（x+1）

A. （-∞，-1] B. （0，+∞） C. （-1，0） D. （-∞，0）

分析与评 注意x>0时，f（x）=1于是x+1>0，2x>0，即x>0时，f（x+1）< f（2x）无解.

那么，由x+1<0，x+1>2x？圯x<-1或2x<0，x+1>2x？圯x<0，得x的取值范围是x<0，选D.

本题设计相当好，把函数的单调性与常函数的特征联系在一起，稍有粗心便会出错.

2. 3. 数形结合

理科第9题：已知函数f（x）ex，x≤0lnx，x>0g（x）=f（x）+x+a. 若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）

A.[–1，0） B.[0，+∞）

C.[–1，+∞） D.[1，+∞）

分析与评 由f（x）+x+a=0？圯f（x）=-x-a分别作出f（x）与y=-x-a的图像，如右图，可以看出：y=-x-a当过点（1，0）时，恰有两个交点，此时直线y=-x-a向上平移只有一个交点，向下平移时有两个交点，于是，由-a≤1？圯a≥-1.

本题考查函数零点与数形结合思想，试题不难，但小巧精干.

2. 4. 和谐型

理科第8题：设抛物线C ∶ y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解法1 由于过点（-2， 0）且斜率为的直线方程为y=（x+2）.

由y=（x+2），y2=4x？圯x=1，y=2或x=4，y=4，抛物线C ∶ y2=4x的焦点为（1，0），

于是·=（0，2）·（3，4）=8. 故选D.

解法1 设M（x1，y1），N（x2，y2），

由y=（x+2），y2=4x？圯x2-5x+4=0，则x1+x2=5，x1x2=4.

那么·=（x1-1，y1）·（x2-1，y2）=（x1-1）·（x2-1）+（x1+2）·（x2+2）=x1x2-（x1+x2）+=8. 故选D.

本题考查圆锥曲线与平面向量的基本运算，解法一属于常规方法，我常把此类解法称之为“强行突破”，显然，在这里是成功的. 解法二是利用根与系数关系进行转化，这是解析几何中的基本技能之一，它很多时候可以绕过复杂、繁冗的运算而直奔结论.两种方法的繁简程度相似，只要你动手了，走哪条路都可以产生结果，因此，我说本题是和谐型试题.

2. 5. 文化背景型

理科第10题：下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）

A. p1=p2 B. p1=p3

C. p2=p3 D. p1=p2+p3

分析与评 设△ABC的两直角边分别为b，c，则区域I的面积为bc. 区域II的面积为（b）2？仔+（c）2？仔-[（）2 ？仔 -bc]=bc，于是可选A. 数学文化是近年走进数学试卷的，由于数学文化深刻的揭示数学的发生、发展的过程，全面的展示数学美的方方面面，因此，它不仅会牢牢的守住这块阵地，还有拓展阵地可能，这点必须引起我们的重视.

2. 6. 抽象型

理科第12题：已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A. B. C. D.

分析与评 “每条棱所在直线与平面α所成的角都相等”该平面α在哪里？可以作出来吗？2016年全国I卷文、理第11题：“平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为 ”可以作出直线m、n所成的角吗？可以说这两题有异曲同工之妙，都是很抽象，想象起来很困难，作图又很难下手.

抓本质是关键，其实，只要抓住过一个顶点的三条棱，就抓住了所有的正方體的所有棱，于是，就是以一个顶点这顶点，以过该顶点的三条棱为侧棱的正三棱锥，这样问题一下就解决了.

2. 7综合创新性试题

理科第20题：某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0 .

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX.

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

分析与评 （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f（p）=C2 20 p2（1-p）18. 因此，

f′（p）=C2 20 [2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2C2 20 p（1-p）17（1-10p）.

令f′（p）=0，得p=0.1. 当p∈（0， 0.1）时，f′（p）>0；当p∈（0.1， 1）时，f′（p）<0.

所以f（p）的最大值点为p0=0.1.

（2）由（1）知，p=0.1.

（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y∽B（180， 0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y. 所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.

本题改变了前两年的命题风格，变得“温柔”许多，无论是题意理解还是具体计算，可以说没难为考生的意思. 但本题确实是一道好题、是一道创新力度较大的题. 将概率与导数结合真的是很少见，而在这里见了，让人感到惊喜：改革没有模式、创新不具一格.

2. 8一题多解型

一题多解对开拓思路、启迪思维有重要作用. 能多解者，一定是基础娴熟、技能全面. 教学中我们提倡一题多解，要求对问题多角度分析、全方位把控.请看看指挥棒的指向吧！

理科第16题：已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是_____________.

解法一 由f（x）=2sinx+sin2x，

得f′（x）=2cosx+2cos2x=4（cosx-）（cosx+1）.

由f′（x）≥0？圯cosx≥？圯2k？仔-≤x≤2k？仔+（k∈Z）.

由f′（x）≤0？圯cosx≤？圯2k？仔+≤x≤2k？仔+（k∈Z）.

于是，当x=2k？仔-时，f（x）取得最小值且fmin（x）=-.

解法二 由 |f（x）|=|2sinx+sin2x|=|2sinx（1+cosx）|=|8sincos3|

=≤

=.

从而-≤f（x）≤，故f（x）的最小值为-.

解法三 由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx）=·

（1+）=，令t=tan，则f（x）=.

设g（t）=？圯g′（t）=，易知t∈（-∞， -） 时，g（t） 递减；t∈（-， ） 时，g（t） 递增；t∈（， +∞） 时，g（t） 递减.

由于g（-）==-，故f（x）的最小值为-.

解法四 由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

则f 2 （x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cosx）（1+cosx）3.

令t=cosx （-1≤t≤1），则g（t）=4（1-t）（1+t）3 （-1≤t≤1）.

由g′（t）=4（1+t）2（2-4t），显然，当t∈（-1， ）时，g（t）为增函数，t∈（， 1）时，g（t）为减函数，所以当t=时，gmax（t）= g（）=；当t=±1时，gmin（t）=g（±1）=0.

因此，f 2 （x）≤？圯-≤f（x）≤，得f（x）的最小值为-.

解法五 由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），得：

f 2 （x）=×（3-3cosx）（1+cosx）3≤×

[]4.

解法六 由于y=sinx在（0， ？仔）上是凸函数.

于是f（x）=2sinx+sin2x=sin（？仔-x）+sin（？仔-x）+sin2x

≤3sin=3sin=，当且仅当？仔-x=2x即x=时，取得最大值. 又因为f（x）是奇函数，得f（x）的最小值为-.

3. 对2019年高考复习的启发

过去的，就让它过去吧！总结过去，是为了更好地开创未来.看看2018年试题、想2019年备考我建议从以下几个方面入手：

3. 1抓基础，无论你是按章节复习还是按知识块复习，理清知识脉络、掌握知识产生的顺序，从概念、定义、定理到性质了然于心，不留死角.

3. 2 抓基本方法与常规技能，每一章节或每一知识块中的基本方法与常规技能都是确定的，什么方法针对什么问题、什么技能解决什么问题？做到心中有数，当我们面对常规问题时，可以做到快速“精准打击”.

3. 3注重思想方法，强化解题过程.根据考查的能力类型与能力要求的层次，我们必须注重数学思想方法.要在基本数学思想方法（如：函数思想、数形结合思想、分类思想及化归思想）的传授上很下功夫.强化解题过程，特别关注解题过程中的思维能力、运算能力.

3. 4以逻辑思维能力为核心，结合运算能力、推理能力与分析能力的特点.强化结合运算能力、推理能力与分析能力，特别关注“怎样想”，同时，一定保证当知道“怎么算”以后能产生正确答案；从图形的观察、分析、变换、抽象入手，培养学生的想象能力、抽象能力及提取解题信息的能力.

3. 5关注高考的新动向、新变化，使复习具有针对性与有效性.该降低难度的一定要降低，绝不追求难与偏.

3. 6抓定期回顾、注重再复习. 我们的复习很多时候是在和遺忘作斗争，事实上，如果我们的记忆真的很好，高二结束就完全可以参加高考且成绩一定不差. 对于一些典型问题、特殊方法我们做过或是用过之后，一定要定期复习，保证它真正成为你的.

好了，该停笔了. 望你成为2019年的高考的福星、真正的高考幸运儿.

责任编辑 徐国坚