解析几何“搭台”，核心素养“唱戏”

谢飞燕

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等数学学科核心素养. 因此，我们让学生在学习数学知识的过程中如何发展并形成核心素养，是新一轮课程改革的任务.培养学生数学核心素养要贯彻到每一节课中，落实到每一道题的解决过程之中，细化到每道题的每个步骤.下面以2021年全国新高考Ⅰ卷解析几何解答题为例，通过解析几何问题的解答探究提出课堂教学中如何提升学生的数学核心素养，正所谓解析几何“搭台”，核心素养“唱戏”.

一、试题再现

（2021年全国新高考Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-17，0），F2（17，0），|MF1|-|MF2|=2，点M的轨迹为C.（1）求C的方程;（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

二、解法探究

1.第一问解法分析

分析1：第一问利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程.

解法1：因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=217，所以，轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），则2a=2，可得a=1，b=17-a2=4，所以，轨迹C的方程为x2-y216=1（x≥1）.

评析：掌握了双曲线的定义，才能辨别出问题的条件与定义的不同之处，准确不漏地写出轨迹C的方程.不少考生可能忽略了双曲线定义中的“绝对值”字眼而误认为轨迹C是双曲线，这充分暴露了考生在解析几何方面严重缺乏数学抽象的核心素养所以对双曲线的定义未能真正地理解，未能从双曲线的标准方程中抽象出双曲线的两支，题中的轨迹C只是双曲线的右支，并非整条双曲线.

分析2：第一问也可以用解析法，根据求轨迹的步骤，先设出点C的坐标（x，y）根据题中的等式，代入坐标得到关于x，y的方程并化简则可得出轨迹C的方程.

解法2：设点C（x，y），∵|MF1|-|MF2|=2，（x+17）2+y2-（x-17）2+y2=2，

则（x+17）2+y2=（x-17）2+y2+2，

两边平方并化简可得17x-1=（x-17）2+y2①

两边平方并化简可得x2-y216=1.

由①式可知，17x-1>0即x>0，/C的方程为x2-y216=1（x>0）.

评析：解析几何法的基础是解析法，解法2回归原始的解析几何思想，学生只要回忆之前推导椭圆的标准方程时的那段“艰苦”的历程，重复体验一下那两次平方的过程即可.当然这里的化简过程考察了考生的数学运算核心素养，并且要求不低，会算可能也会出错，即“会而不对”.解析法遵循“建立坐标系—设点—列出限制条件—代入坐标—化简—检验”等步骤，一般情况下最后一步可以省略，所以坐标法步骤简称“建设现（限）代化”五个步骤，但此题最后一步必不可少，不少考生没有检验从而忽略了化简过程中的隐藏条件x>0导致得出不完整的答案.

2.第二问解法分析

分析1：第二问的解题思路很清晰，先设点T的坐标为（12，t），再设直线AB与PQ的斜率分别为k1和k2，将直线方程与双曲线方程联立，根据两点的距离公式或弦长公式便可求出|TA|和|TB|，同理可得|TP|和|TQ|，最后通过运算化简可得k1+k2=0.

解法1：设点T（12，t），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线AB的方程为y-t=k1（x-12），即y=k1x+t-12k1，联立y=k1x+t-12k1

16x2-y2=16，消去y并整理可得（k21-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-12k1）2+16=0，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1>12且x2>12.由韦达定理可得x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=（t-12k1）2+16k21-16.

所以|TA|·|TB|=（1+k21）·|x1-12|·|x2-12|=（1+k21）·（x1x2-x1+x22+14）=（t2+12）（1+k21）k21-16.

設直线PQ的斜率为k2，同理可得|TP|·|TQ|=（t2+12）（1+k22）k22-16，因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即（t2+12）（1+k21）k21-16=（t2+12）（1+k22）k22-16，整理可得k21=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，显然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

评析：圆锥曲线综合问题常用的“设直线方程—联立方程组—消元—韦达定理……”解题策略，对于第二问，大部分考生都能完成前四步，但又只能到此“望题兴叹”了.因为按照两点间的距离公式代入运算非常复杂，对学生的运算要求很高，此时优化运算变得尤为重要.我们熟悉的圆锥曲线弦长公式其实是直线上两点间的距离公式，若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+b（k≠0）的两点，则|AB|=1+k2|x1-x2=|1+1k2|y1-y2|，称此公式为直线上的两点的距离公式，若A，B是直线上与圆锥曲线的交点，则此公式即我们的弦长公式，因此本题可以直接应用以优化数学运算.

分析2：因为题中涉及两个线段的长度的乘积，可以借用向量的数量积解决问题，由T，A，B三点共线可知|TA||TB|=|TA||TB|=TA·TB，现利用向量的坐标运算和前面得到的根与系数的关系求解.

解法2：（以上同解法1）|TA||TB|=|TA||TB=|TA·TB=（x1-12）（x2-12）+（y1-t）（y2-t）

=（k21+1）（x1-12）（x2-12）

=（k21+1）[x1x2-12（x1+x2）+14]

=（k21+1）（t2+12）k21-16

同理可得|TP||TQ|=（k22+1）（t2+12）k22-16（以下同解法1）.

评析：整体考虑|TA||TB|，利用向量工具解决问题可以避免运用弦长公式在运算过程中出现绝对值或根号等象征着复杂运算的符号，运用向量作为工具解决解析几何问题是常用方法之一.

分析3：考虑到第二问中的|TA|和|TB|为过点T的直线与双曲线的交点所形成的线段的长度，利用点T建立直线的参数方程，根据参数方程中t的几何意义可快速求得|TA|和|TB|，可以简化部分数学运算.

解法3：设点T（12，m），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，过点T的直线的参数方程为

x=12+tcosα

y=m+tsinα（t为参数）

代入双曲线可得（16cos2α-sin2α）t2+（16cosα-2msinα）t-12-m2=0

|TA||TB|=t1t2=-12+m216cos2α-sin2α=-12+m217cos2α-1

同理|TP||TQ|=-12+m217cos2β-1

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，所以cos2α=cos2β.

则cosα+cosβ=0，所以α=π-β即两斜率和为零.

评析：引入参数，用直线的参数方程或曲线参数方程中参数的几何意义搭起题目中量与量之间的关系，建立方程进行运算求解，这是解析几何中常用的方法，但可能是学生们对参数方程的学习不够，很少能把解析几何问题与参数方程联系一起，特别是在新高考中取消了最后一道大题即往年的选做题后，学生对参数方程更陌生了.

3. 教学思考

加强学生对解析几何知识本质的理解，提升其数学抽象与直观想象素养.注重学生的运算能力培养，提升其数学运算核心素养.探索数学中几何关系如何代数化的途径，提升学生逻辑推理素养.