小学数学建模教学中的几种建模形式

陈日福

数学建模是学生对实际问题进行数学化、结构化的过程。根据不同的学习内容以及学生已有的不同的知识基础，数学模型的建立存在不同的形式。笔者在教学实践过程中将建模教学的形式总结为“创模”“借模”和“借创结合”三种。本文以长方体、圆柱和圆锥的体积计算为例阐述在数学建模教学中的一些具体做法。

1. 创模

数学教材是数学模型的载体，数学教学过程可以说是数学模型的创建过程。从建构主义的学习观点看，数学建模过程就是学生对数学模型的意义建构过程，教师一定要尽量创造条件让学生亲身体验这个过程，不能因为贪方便、怕耗时或怕完成不了教学任务而由教师的讲解代替了学生对数学模型的意义建构过程。数学建模活动既可以是学生个体自主的，也可以是小组合作的，甚至是班级互动的；既可以课内模拟的，也可以是课外实践的。学生在深刻的体验中，发现事物的本质结构和内容规律，从而建立自己能理解的、会灵活应用的数学模型。下面以长方体的体积计算教学来简要阐述数学模型的创建过程。

长方体的体积计算是学生学习物体体积计算的起始，是最基础也是最简单的体积计算模型，学生深刻建立长方体的体积计算数学模型，是今后学习柱体、锥体、球体的体积计算数学模型的关键。因此，教学时教师要通过合理的现实情境引起学生学习体积计算数学模型的内在需要，通过实物学具的具体操作、多媒体动画模拟演示等学习方式，引导学生探究长方体的体积与长、宽、高三者乘积的关系，形象生动地建立长方体的体积计算数学模型：长方体的体积=长×宽×高，或者长方体的体积=底面积×高。同时从柱体体积计算的系统性角度考虑，引导学生得出长方体更具代表性的体积计算数学模型：长方体的体积=底面积×高，为学习圆柱的体积计算数学模型做好知识准备。

2. 借模

“借模”是笔者在进行数学建模教学研究过程中相对于“创模”提出的，也就是在数学建模教学过程中，有些数学模型不需要学生进行原始创建，可直接从学生已有认知领域中的借用自己已经熟悉的数学模型，并进行适当的概念转换即可建立新的数学模型，而这种新旧的数学模型之间没有本质的差别。比如圆柱的体积计算数学模型就可引用长方体、正方体的体积计算数学模型：底面积×高，在此基础上进行建模教学则效果更好。教学时，首先引导复习长方体和正方体的体积计算方法都可以用底面积s乘以高h来计算，也即V=sh。接着引导学生通过小组学习活动，仿照圆转化为长方形来创建圆的面积计算数学模型的经验把圆柱转化为长方体，从而建立了圆柱体积计算数学模型，让学生在“借模”过程中发现柱体体积计算方法的高度统一：体积=底面积×高。

这样不仅可以提高课堂教学效率，避免学习活动的重复，又可让学生增强对同类数学知识的系统性，做到融会贯通。与长方体的体积计算模型相比，圆柱体积计算模型的建立重在遷移和类推，而不是原始创建，这种数学模型的建立过程笔者称之为“借模”。

3. 借创结合

圆锥和长方体、正方体、圆柱等几种几何体不同，圆锥不是柱体而是锥体，但其共通之处都有底面积和高，在其体积计算数学模型也存在共同点。因此，圆锥体积计算的数学模型的建立可以通过“借创结合”的方式完成。即是先借用柱体体积计算数学模型“底面积×高”计算与圆锥等底等高的圆柱体积，再通过等底等高的圆锥与圆柱的体积关系求出圆锥的体积。其建模过程如下：

第一，小组讨论，探索得出“圆锥的体积和长方体、正方体、圆柱等柱体的体积都是由底面积和高来决定”的结论，为“借模”打好知识基础。

第二，引导学生通过类比，在分析长方体、正方体、圆柱等柱体的体积计算数学模型，猜测圆锥的体积计算数学模型（体积计算公式），使学生逐步清晰圆锥与底面积和高有关，但又不能直接用底面积和高相乘计算得出。再通过类比三角形面积计算数学模型的建立方式（三角形面积是它等底等高平行四边形面积的一半），猜测圆锥的体积与它等底等高的圆柱体积的关系，提出圆锥体积可能的计算方法。

第三，在猜测的基础上，学生通过小组合作进行操作体验，验证猜想：等底等高的圆锥与圆柱的体积关系，建立圆锥的体积计算模型。

上面的第一、第二点可以说建立圆锥的体积计算模型的“借模”部分，第三点则是在“借模”基础上的“创模”。通过“借”“创”结合，完成圆锥了的体积计算模型的建立过程。