数学思想方法系列讲座（1）

数学思想，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是思维加工后的产物，它隐藏在数学概念、法则、公式、公理、定理、方法等知识的背后，反映了这些知识的共同本质。数学思想包括函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想等。

函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决。方程思想的实质是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，并根据题中隐含的等量关系列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，求得问题的解决。

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

在解决某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的。当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究。这里集中体现的是由大化小、由整体化为部分、由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起。这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想。

化归与转化思想的本质含义是，在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的。解题过程具有灵活性与多样性的特点。化归变换原则的结构中蕴含着三个基本要素，即变换的对象、目标和方法。变换的对象就是待解决问题中需要变更的问题，变换的目标是所要达到的规范问题，变换的方法是规范化的手段、措施和技术。变换的方法是实现变换的关键。一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的关系是可变的，但寻求变形的方法并不唯一。因此，应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循，需要我们依据问题本身所提供的信息，利用动态思维去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，并从中选择，使生疏变换成熟悉、复杂变换成简单、抽象变换成直观、含糊变换成明朗。

人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的。通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，进而发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体。这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程。这并不是目的，我们还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题。这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程。由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，是人们认识世界的基本过程之一。

有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究。对有限个对象的研究往往有章法可循，并可以积累一定的经验，而对无限个对象的研究，往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路。反之，当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决。这种无限化有限、有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想。

世间万物千姿百态、千变万化，人们对世界的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的，人们发现事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的，或随机的。为了了解随机现象的规律性，便产生了概率论的数学分支。概率是研究随机现象的学科，随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果未必相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果；二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率。知道这两点就说明对这个随机现象研究清楚了。概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然思想。

数学方法，顾名思义，就是人们从事数学活动时所使用的方法。数学基本方法包括待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法等；数学逻辑方法包括分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等。

人们往往将数学思想和数学方法合在一起，称之为数学思想方法，可见两者之间有密切的联系。事实上，两者之间有一定的区别，但要将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的，所以人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法。

中小学数学教材中涉及的思想方法大致有抽象概括、化归、数形结合、数学模型、归纳猜想、分类、类比、特殊化、演绎、完全归纳法、反证法、換元法、待定系数法、配方法等。从中可以看出，中小学数学中确实蕴含了丰富的数学思想方法内容，不但方法的种类多，而且某些方法反复出现并应用，这说明在中小学数学教学中加强数学思想方法教学不但具有重要意义，而且现实可行，是一个长期的颇具开发价值的研究课题。

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。学生在中小学所学到的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不久就忘掉了。然而，不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。理论研究和人才成长的轨迹都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。

我们在课堂教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。只有加强数学思想方法的教学、优化学生的思维、全面提高数学能力，才能提高学生解决问题的水平和能力。

以数学复习课为例。数学复习是在学生基本掌握了数学知识体系、具备了一定的解题经验的基础上进行教学，也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上进行教学。其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，优化学生的思维品质，使学生在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力。数学综合复习是学生发展数学思想、熟练掌握数学方法理想的难得的教学过程。

我们可以说，数学思想方法是渗透在数学知识与方法中具有普遍适应性的本质思想，是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法，对数学思想方法的教学一般是结合数学知识多层次进行的，应该贯穿在每节数学课教学的始终。

（下期内容预告：数学思想方法系列讲座（2）——函数与方程的思想）

责任编辑 姜楚华