浅谈MATLAB在常微分方程课堂教中的应用

崔仁浩　王金凤

常微分方程是数学与应用数学专业中的一门重要的核心基础课程，是数学专业学生在大学一年级完成最基础的三门专业课（数学分析、高等代数、解析几何）后开始学习的课程。在大学本科数学基础课程中， 常微分方程是少数几个可以充分展示数学研究本质的课程之一，在课堂教学中我们所采用的是王玉文教授主编的教材《常微分方程简明教程》，本书已于2010年在国家级出版社“科学出版社”出版，并由于其数学研究方法的较强渗透性而入选了“大学数学科学丛书”。在传统的常微分方程课程中， 主要寻找一些特殊的技巧和方法，去发现这些方程的通解或初值问题的特解， 然而可以找到解析方法进行求解的微分方程是很少的， 因此在现代微分方程研究及应用中， 寻求具体微分方程的解析解的特殊技巧已经不再是主流课题， 而应用中提出的各种具有实际背景模型的微分方程又往往是非线性方程， 寻找这些方程的解析解， 绝大部分是不可能的，其有效的方法是利用定性分析方法与数值方法来考虑这些非线性方程的解的问题。国际著名数学家、Wolf数学奖获得者V.I. Arnold在其编著的经典教材《常微分方程》中尤其注重体现关于常微分方程几何理论的深刻思想，从稳定性这一动力系统理论所要研究的核心问题出发，通过具体的例子引入稳定性、周期性等基本概念，对于平面动力系统做了详细的探讨。在我们的课程教学过程中也力争为学生展示数学直觉与数学研究的本质余常微分方程几何理论的思想，由于几何理论这一思想方法具有高度的抽象性和概括性， 尤其是介绍利用定性分析方法考虑微分方程时，抽象的概念和定理使得初学者难以直观地理解定性分析方法的实质，这时如果用MATLAB软件绘制出几何图形就能将抽象的概念与结论直观形象地体现出来， 这毫无疑问将非常有助于学生对几何理论思想方法的理解， 同时将极大地提高学生的学习效率与兴趣。

MATLAB是由美国Mathworks公司在上个世纪八十年代推出的数学软件，它将矩阵分析、数值计算、数据可视化以及程序设计等诸多强大功能集成在一个简单易用的交互式工作环境中，从而可实现数据的分析与计算、算法研究、模拟绘图、应用程序设计以及非线性动态系统的建模和仿真等功能，MATLAB在当今各个科学领域有着广泛的应用。在数学专业课程教学过程中，MATLAB也成为数学分析、线性代数、微分方程、概率统计、数值分析、优化控制等课程的基本教学工具，有着广泛的应用前景。常微分方程这门课具有高度的抽象性和概括性， 利用MATLAB辅助教学能将课程中一些抽象的概念和定理通过图表、图象、甚至结合动画转化成直观、具体的表现形式。MATLAB中包括大量的绘图程序， 直接调用这些程序可以方便地实现非线性常微分方程的解在相平面上定性分析图形的绘制，形象生动地展示方程解的各种动力学行为。应用MATLAB进行常微分方程的计算机辅助教学，有利于学生对斜率场、解的图像、相空间、向量场及轨线等重要概念的理解，能够使学生对微分方程的几何理论有更直观深刻的认识。更加方便的是，尽管MATLAB具有强大的图形输出功能，但是该软件的操作极为简洁方便，使用者可以在不熟悉MATLAB其它功能的情况下， 通过几条简单的命令就可以利用MATLAB中的Dfield程序和PPlane程序绘制出非线性方程（组）在相空间中解的几何图形。本文通过在课堂教学过程中使用MATLAB 辅助教学的两个典型案例来加以说明。

并且从求出的解析解可以看出：除常数平衡解x（t）=N以外的任意解，不管初值如何选取，当t→∞时，x（t） →N。下面考虑不求出方程的解析解，使用定性分析的方法来判断解的渐进性质，在这里为了方便学生的理解，我们可以通过使用MATLAB中的Dfield程序描绘一下解的长时间行为。下面我们进行以下的操作：在Dfield程序中选取k=2，N=3，程序作出图1，从图1中可以看出，在第一象限内，当初始值是在x=3上方时，随着时间的增长曲线最终都趋向于直线x=3；当初始值是在x=3之下时，曲线最终也都趋向于直线x=3。这个模型在实际意义上的表示的是：不管人口的最开始的数量是多少，最终人口的数量一定会趋于最大承载量N。

的平衡解，平衡解的稳定性以及解的渐进行为。其中x（t）表示物种数量的密度函数（依赖自变量时间t），k>0表示物种增长率与物种总数之间的比例常数，N>0表示资源与环境的最大承载量，0同样的，对于这个问题我们可以借助于使用MATLAB中的Dfield程序描绘一下解的长时间渐进行为。下面我们进行以下的操作：在Dfield程序中选取k=2，N=5，M=3，程序作出图2，从图2中可以看出，在第一象限内，当初始值是在x=3下方时，随着时间的增长曲线最终都趋向于直线x=0；当初始值是在x=3和之间时，曲线最终都趋向于直线x=5；当初始值是在x=5上方时，曲线最终也都趋向于直线x=5。这个模型在实际意义上的表示的是：如果物种最开始的数量是低于Allee效应的门槛值M时，最终物种的数量一定会趋于0，也即此时物种的初始数量太少使得物种的发展最终会灭绝；如果物种最开始的数量是高于Allee效应的门槛值M时（无论高于还是低于环境的最大承载量N，最终物种的数量一定会趋于最大承载量N。

通过以上实例分析以及结合我们近几年的教学实践， 我们深切地感受到：Matlab是一款功能强大的应用数学软件，将Matlab软件引入常微分方程课程的教学，可方便学生更深入地理解课程内容，激发学生的学习兴趣，对培养学生的数学素质， 提高学生应用所学数学知识解决问题的能力，使常微分方程课程的教学出现了生动活泼的局面。

参考文献

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