素养导向的数学课堂“以文化人”路径探微

田红梅

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出：数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。“以文化人”在古汉语中原指“关乎人文，以化成天下”，现主要指秉承人文思想，运用文化力量，在潜移默化的文化熏陶和滋养中，不断提升人的素养。数学课堂“以文化人”，是要在数学学习过程中有机渗透数学史、数学故事以及数学发展中的人文成分，让学生经历知识的形成发展过程，从而感悟数学的思想、精神和观点。

一、數学课堂“以文化人”的目标指向

（一）提升学生的思维品质

与纯粹的数学知识相比较，数学文化更加突出数学知识的来源与发展过程，还原了数学家发现和研究数学的过程，展示数学家质疑、求真、求美的良好品质，体现数学对促进人的思维发展的作用。小学阶段是数学思维发展的关键时期，数学文化的渗透有助于学生形成正确的思维方式。我们应促使学生在知识学习中自觉生成数学思想方法，形成理性的数学观点，促进学生思维品质的提升。

（二）唤醒学生的文化自觉

文化传承是建立在了解和理解的基础上，只有充分理解才能形成理性、自觉的认同。数学文化是指数学的思想、精神、观点以及它们的形成和发展过程。只有当学生体会到人类探索知识时的艰辛和努力，了解数学的发展史和数学家们追求真理的严谨和曲折，才能形成学习数学的积极情感态度，主动提高文化自觉意识，增强民族认同、文化认同，并自觉内化为自己的思想和行为。

（三）发展学生的核心素养

“新课标”指出：应使学生通过数学学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，它需要在每一节数学课上落地、生根。数学文化的融入，可以使学生更加深刻地了解数学的源与流，主动经历、体验、探索知识的产生与发展历程，并能用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达，发展学生的核心素养。

二、数学课堂“以文化人”的教学路径

德国数学家克莱因提出“历史是教学的指南”。将数学文化融入小学数学课堂中，不是数学史料的简单嵌入，而是要找到数学文化与学习内容的联系，选择合适的文化素材有机融入，促进学生的数学理解以及核心素养的发展。笔者拟从学习进阶的维度探寻数学课堂“以文化人”的教学路径。

（一）学习的发生：立足儿童认知起点，以文化支撑知识溯源

1.故事引思，明晰知识的生长序列

要让学生能够真正掌握数学知识的本质内涵，教师必须将知识的来龙去脉真实地呈现给他们。故事对儿童有天然的吸引力，以数学史上的小故事讲述开启数学知识的发生发展历程，能够激发学生数学学习的兴趣，引发学生的思考。

在“认识11～20各数”一课的教学中，教师先借助计数故事，让学生感受“十”。古时候，牧羊人用摆石子的方式管理羊群，一只羊就摆一个石子，当摆到10个小石子的时候，就换成一个大石子。这个大石子表示几？ ……后来，古人又想到在木块或兽骨上刻杠计数的方法，如果刻一道杠表示1，有了10道杠怎么办？在不断追问思考中自然引出“十进制”计数法。“十进制”的产生与人类身体的构造特点、古人的生活环境有着密切的联系。通过这部分内容的教学让学生感悟到“十进制”来源于生活，应用于生活，是人类的一种自然选择，让学生感受到数学知识的生长性和建构性。

2.史实回溯，回到知识的出发原点

建构主义认为，新知识的学习需要建立在一定的知识背景基础上。数学教学应立足学生的认知起点，回到历史上知识发生的原点，以知识背景重现促进学生对新知识的建构和理解。

教学“认识面积”时，教师首先用一个问题“在哪儿听说过面积”唤醒学生对面积的认知经验，然后聚焦面积的由来，思考“什么时候人们开始关注面积的呢”，让学生初步感知数学知识的产生源于真实世界的需要。面积的产生源于4000多年前的埃及尼罗河发大水的史实。河水冲走了牛羊、冲毁了庄稼，当水落下去的时候，人们就开始用绳子或石头圈地，表示这块地是自己的。圈出的土地有大有小，自然引出土地的大小就是土地的面积，而土地一圈边线的长就是周长。周长和面积是研究图形的两个不同维度，它们产生于不同的现实需求。唯有回到原点，感知其背后的文化差异，才能准确把握概念的区别。

（二）学习的发展：凸显儿童认知冲突，让文化助推知识建构

1.设计关键问题，驱动整体思考，发展数感和符号意识

历史上人类创造新的数学知识，常常是因为原有的知识已经无法解决新的问题。所以，无论是历史的发展，还是数学学习，问题非常重要，它驱动学习的发生和发展。我们可以以数学史上相关问题发展的历程为背景设计关键问题，引导学生经历完整的探究过程，获得超越知识的数学素养和数学精神。

小数是十进制分数的简写形式，而本质上它和十进制计数法更有渊源。在“小数的认识”教学中，为了让学生理解数位的延伸是数域扩展的需要，教师设计了“在计数器模型（纸上画出的计数器）上怎样表示出1.2”这个关键问题，引导学生主动探究可能的拨法，引发认知冲突——“2”在计数器上没有地方可以拨，从而产生创造新数位的需求。通过梳理已有的计数单位——个、十、百、千，发现数位排列的内在关联——向左是不断累加，依次乘以10，向右是不断细分，依次除以10。于是产生比“个”更小的计数单位，完成数位的延伸，逐步建构完整的计数单位体系，使学生的数感和符号意识得到发展。

2.经历知识再创造，探寻知识本质，发展量感

弗赖登塔尔认为，数学是系统化了的常识，常识要成为数学，必须经过提炼和组织，凝聚成一定的法则，而学习数学的正确方法之一就是实行“再创造”。只有置身于相应的历史背景和数学语境，亲身体验课本上的数学知识是怎样从不确定的“问题状态”逐渐发展到相对确定的“结果状态”，学生才能真正理解知识本质。

“认识厘米”是学生第一次认识长度单位，相较于“厘米”这个名称和“1厘米有多长”，更重要的是历史上长度单位的出现经历了什么。测量最初的产生源于生活中对不同事物比较的需要。从利用直观感知进行测量，到意识到测量需要测量工具、出现相对长度，再到顺应不同时期、地区间比较的需要产生统一的计量单位，经历了漫长的发展进程。观照这一历程，教学中也需要让学生关注知识发展中的关键事件，经历“感知—冲突—发明—应用”的知识再创造过程，在实践中思考，在交流中完善，理解概念内涵，建立长度观念。

3.重构关键路径，促进数学理解，发展抽象意识

波利亚认为，只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。所以，教学中，我们应遵循数学思想的历史发展顺序，重构关键路径，帮助学生生成深度的数学理解。

教学“比的意义”时，教师通常是通过引导学生发现两个数的“比”与两个数相除的关系来开展教学，而这样的学习并不能让学生真正理解“比”的本质。根据“比”的发展历史，我们可以发现，“比”产生的客观基础是“量”。有了“量”，才有了描述两个“量”之间关系的需要，所以“比”的本质是度量。基于以上思考，在教学中，教师重构了教学路径：第一层次，投篮比赛，小红投中5个，小明投中4个，谁赢了？从可度量到不可直接度量，让学生明白“‘比’从哪里来”；第二层次，比较“两种笔的单价、两杯水哪杯更甜”等，引导学生用“比”记录两个量的对应关系，发现不可度量属性的可比性，体会“比”的价值；第三层次，黄色和蓝色可以调出绿色，那么三个人调出来的颜色相同吗？让学生在观察与思考中发现“比”还可以描述变化的量之间的关系，深化对“比”的认识。从“比”的源头到“比”的发生、发展，逐层递进，促进学生对知识本质的理解，发展抽象意识。

4.借助支架融合，渗透数学思想，发展模型意识

“新课标”明确指出：课程内容的选择要关注数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化，增强学生的爱国情怀和民族自豪感。古题流传至今的大多是中华传统文化中的经典。“鸡兔同笼问题”最早出现在我国唐代《孙子算经》一书中，距今已有1500多年的历史。在不同版本的教材上，“鸡兔同笼问题”被安排在不同的年级。事实上，不同年级的学生都能够基于他们已有的知识经验，找到解决方法，获得思维的发展。二年级学生解决这个问题，可能遇到怎样的思考困境？如何应对？

根据皮亚杰认知发展论，这一年龄段儿童的思维处于具体运算阶段，儿童在这一阶段的思维一般还不能离开具体事物的支持。因此，皮亚杰提出儿童的活动对于他们对数学的理解具有重要的意义。基于二年级学生的认知规律和认知特点，教师选择了另一传统经典——算盘，作为支架。五珠算盘构造独特，一颗上珠代表一个头，四颗下珠代表四条腿。如此表征对二年级学生而言，直观形象且简单生动。学生在算盘上动手拨一拨、比一比、添一添、减一减，直观地看到鸡、兔腿数的变化，既像是实验，又带着“玩”的味道，在不知不觉中“玩”出模型的构造，感知“鸡兔同笼问题”背后所蕴藏的假设的思想方法。

（三）学习的延伸：关注儿童认知发展，让文化助力思维进阶

1.以真实历史丰富文化认知

从“数”到“代数”，在数学史上到底走过了怎样的历程？教材中固然有一些介绍，但只是历史材料的简单罗列。教学“用字母表示数”时，在学生探索了“为什么要用字母表示数”“怎样用字母表示数”等问题后，教师试图让学生亲身体验数学家研究这些问题的过程和方法。结合具体情境，学生列出了“4×a”“4×m”“4×x”等不同的字母式，通过教师介绍，学生发现丢番图当年就是这样记录的——利用首字母缩写比较简便地表示出数量间的关系。但这样记录的缺点是每个字母都表示特定的意思，实际运用时需逐一辨别。因此，17世纪法国数学家韦达提出把字母当成一种符号来表示数或数量，即字母a既可以表示边长，也可以表示速度，还可以表示每人分得的糖果……这是一个重大的飞跃，使许多数学难题迎刃而解，数學得到飞速发展。两种表达方式的出现，在课堂上只有几分钟，在历史上却跨越了千年。历史和现实的对比碰撞丰富了学生的文化认知，同时加深了学生对所学知识的理解。

2.以古今对比拓宽文化视野

不同时期、不同国度、不同文化背景下，面对同样的问题，数学家的解法也存在差异。我们在教学中可以利用古今对比、中外对比，开阔学生的视野，同时让学生寻找不同方法之间的联系，认识到数学发展的多样性和一致性。比如，教学“三角形的面积”时，学生通过将三角形转化为平行四边形找到了计算三角形面积的方法，此时出示《九章算术》中记载的“半广以乘正从”的方法，自然引出对两种方法相同之处的思考，理解古代算法的同时，进一步加深对三角形面积公式的认识。再比如，教学“两位数乘两位数的竖式计算”时，可以引入15世纪意大利算数书中介绍的“格子乘法”（铺地锦）。这种方法与学生所学的方法在计算过程上基本一致，但在排列方式和合计上有些差异。除此之外，我国古代计算乘法时还有画线法、杨辉算法和算盘算法等方法。通过这些方法的对比介绍，丰富学生的认知，引发学生探究的兴趣，体会古代数学家的思维方式和现代方法的简洁性。

当然，数学课堂“以文化人”不仅要观照数学史在课堂上的融入，还应该从广义的角度，更多地关注数学与其他学科的联系、数学的学科应用、数学之美等，关注文化的开放性和包容性，使数学课堂成为文化育人的土壤，不断提升学生的数学素养和创新意识。

（作者单位：江苏省盐城市第一小学）