重构教学内容，促进思辨生成

导 读：

数学课堂教学是依据教材内容来设计学习活动、促进学生深度思考的教学活动，但是现有教材内容的呈现方式以结论为主，需要教师重构学生的学习内容，促进学生形成数学思维、获得数学思想、了解数学本质，从而引发深层次的思辨。

“思辨能力”是一种重要的数学思维能力，它包括“思考”和“辨析”，涉及数学思考、分析、推理、判断、表述、交流等数学思维过程和活动。但是现有教材内容的呈现方式以结论为主，这样直接“给予”的方式使学生缺乏思考的动力，因此思辨的课堂需要教师重构学生的学习内容。

一、经历数学思维的内容重构

数学思维是学生在运用数学的观点思考和解决问题中形成的。因此教师需要建构有利于学生进行数学思考的教学内容，让学生经历数学思维的形成过程，提升数学素养。

（一）变程序式的操作为经历真实思维的探究

数学教学的操作活动，可以使抽象的知识形象化，学生经历知识的形成过程，获得思维的提升。但是如果不关注学生的真实想法，只是象征性地让学生按照要求完成操作过程，容易导致学生缺乏思维的主动性，无法实现深度学习。

例如，教学“三角形的内角和”时，教材是通过让学生测量、剪拼、折拼的方式构建三角形，让学生了解三角形的内角和是180°的。但是测量时往往会出现三个角的内角和不一定是180°的情况，教师用测量误差的说法很难消除学生心中的困惑，活动的过程既没有带来思维碰撞的激动，也没有消除困惑的欣喜，那么如何体现学生思维的真实性呢？

1.猜想的真实性。教学中，教师要创设情境，真实暴露学生的想法，利用直角三角尺，学生初步得出这个直角三角形的内角和是180°，教师把直角三角形撕成两个小直角三角形，引导学生思考：每个小直角三角形的内角和是多少度？大部分学生认为是90°，个别学生认为是180°。这时教师请认为是90°的学生到台前，接着把其中一个小的直角三角形再撕成两个直角三角形，这个学生说内角和是45°，教师再撕下去，学生说是22.5°。由此可见，学生真实的想法并不认为三角形的内角和一定是180°。随着撕成的直角三角形越来越小，学生开始积极思考。有的学生提出：并不是三角形越小它的内角和就越少，老师的大三角板跟同学手中的小三角板的内角和是一样的，但是大小不同。有的学生提出：角的大小与边的长短没有关系，所以有可能撕成很小的直角三角形的内角和也跟大三角形的内角和一样是180°。教师以学生真实的想法为出发点，发现问题并解决问题，发展了学生的思辨能力。

2.验证的真實性。用几何画板计算三角形的内角和，比学生自主测量显得结论更真实、更有说服力，学生在测量三角形的内角和的时候因为有误差，总是很难正好得出180°，数学的科学性很难得到体现。运用几何画板非常精确地呈现无论三角形怎么变化，三角形三个内角的和都是180°。

（二）变单一观察为思维多维发展

数学思维的培养离不开观察，学生可以通过观察，发现知识之间的内在规律和联系，迁移完成新知识的学习。但是在教学中教师关注的重点依然是知识的掌握，对知识背后的数学思想没有进行深入解析，因此学生观察的内容单一，这样的学习过程不利于学生思维多维发展。

例如，教学“三角形三边关系”时，教师通常出示几组三角形，让学生测量三角形三条边的长度，并观察这三条边之间的关系，学生从数据观察中发现，三角形的任意两边之和大于第三边。在这个教学过程中，学生动手测量了，也进行了观察，但是只是掌握了三角形三边关系这个知识点，仅靠观察这几组数据很难解决学生的困惑问题：为什么要用两边之和与第三边比呢？三角形两边之和小于或等于第三边会怎样呢？两边之差与第三边有怎样的关系呢？所以教师要让学生经历三角形三边关系建构的过程。

1.发展批判性思维。批判性思维需要学生在学习过程中对自己的认知提出疑问，继而迫切地寻找解决问题的方法，把学生的思维不断地引向深处，思维在“立和破”之间不断生成发展。本节课通过四个教学环节进行两“立”两“破”，从而促进学生思辨的生成。

第一个环节是“立”，教师给学生几根小棒，让学生观察能摆成和摆不成三角形的三根小棒三边关系，初步得出结论：三根小棒中两边之和小于或等于第三边的围不成三角形，两边之和大于第三边的可以围成三角形。

第二个环节是“破”，教师让学生在否定原有认知中自主寻找问题的答案。引导学生思考：如何让围不成三角形的三根小棒围成三角形？学生想到把最长的第三根小棒剪短，教师再引导学生思考：第三根小棒是否可以无限地剪短？学生通过操作发现，第三根小棒不能无限地剪短，当它短到一定程度时，有可能又围不成三角形。这与刚才的认知产生了冲突，学生初步感知第三根小棒的长度有一定范围。

第三个环节是再“立”，完善对三角形三边关系的认知，学生通过“长度分别为3厘米、9厘米、5厘米的三根小棒能否围成三角形”这个问题进一步思考。学生根据3+9>5，认为可以围成三角形，但是实际操作时却发现无法围成三角形，此时学生观察发现，因为3+5<9，所以围不成三角形，由此得出结论：三角形任意两边之和大于第三边。

第四个环节是再“破”，通过“长度为9厘米的小棒换成长度为几厘米的小棒，三根小棒就可以围成三角形”这个问题，拓展学生对三角形三边关系的进一步认知。在不断尝试的过程中，学生发现第三根小棒长度要小于“3+5”的和，又要大于“5-3”的差，从而完整建构三角形三边关系的知识结构。

2.发展缜密性思维。当学生初次建构三角形三边关系时，认知是不完整的，只是得出“两边之和大于第三边就可以围成三角形”这个结论。在后续两个环节中充分暴露学生认知不完整的问题，当教师提出问题：第三根小棒可以无限地剪短吗？长度分别为3厘米、9厘米、5厘米的三根小棒能否围成三角形？学生回答时就出现了错误答案，学生在寻找错误原因的过程中完善了对三角形三边关系的认知，也充分理解了“任意”这个词的含义和重要性，提升了思维的缜密性。

二、经历数学思想的内容重构

数学教育家米山国藏曾说：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时发生作用，使他们受益终身。”对数学思想的感悟是学生数学素养的集中体现，教师要深入理解数学知识背后的数学思想，重构教学内容，让学生在学习过程中经历数学思想的形成过程。

（一）单调的数字计算转化为生动的数学思想

在计算教学中，教师往往通过大量重复性的练习，使学生掌握计算方法、提高计算正确率，但学生也因此忽略了其中蕴含的数学思想。尤其在算理的教学中，既要让学生理解算理，又要渗透数学思想，提升学生数学学习能力。

例如，在教学“两位数乘两位数的练习课”时，学生体验了数学推理思想。首先引导学生比较“24×17”这个乘法竖式中第二层的积与第一层的积的大小，通过计算，第二层的积是24×10=240，第一层的积是24×7=168，所以第二层的积大于第一层的积，在复习乘法算式算理的同时完成初步建模。其次呈现□×17，让学生思考：现在第二层的积还大于第一层的积吗？一部分学生认为不知道第一个因数怎么确定积，提出可以用举例验证的方式来证明，这类学生的推理能力还未形成，需要直观数字的辅助。大部分学生依据24×17的计算过程进行推理思考，无论第一个因数是多少，第一层的积都是用第一个因数乘7，第二层的积都是用第一个因数乘10，所以第二层的积大。教师再次呈现24×□，引导学生提出问题：第二层的积与第一层的积谁大呢？这个问题的提出也是依据□×17进行推理思考。学生提出还可以用举例的方法来验证，教师引导学生举一个有说服力的例子，很快学生就提出，24×19，个位9最大，十位1最小，第一层的积是24×9，是第一层最大的积，第二层是24×10，是第二层最小的积，第二层最小的积还大于第一层最大的积，所以通过推理得出结论：无论第二个因数是几，第二层的积都大于第一层的积。最后呈现□×□，逐步抽象出两位数乘两位数为什么第二层的积大于第一层的积的算理。这个教学过程学生逐步推理出乘法计算的过程，经历了从直观到抽象的过程。

（二）枯燥的数学知识转化为深奥的数学思想

相较于其他学科，数学知识缺乏丰富的想象、感人的意境，所以教师如果仅关注学生知识的掌握，数学课堂势必枯燥乏味。数学的魅力在于思维的迸发、数学思想的呈现，教师要善于从数学思想的高度审视课堂，把枯燥的内容变得有趣。

例如，教学“数字编码”时，每个数字编码都是不重复的，因为它的这个特性，编码在生活中才得以广泛地应用，本节课围绕着唯一性展开教学。教师让学生猜想：全国有14亿人口，身份证号码会重复吗？大部分学生觉得会重复，教师引导学生结合地图和身份证号码来分析。根据省、市、县区域码，学生发现身份证号前6位相同的人大约100多万人。根据出生日期号筛选，同年同月出生的人同一个县就只有500左右了，那么身份证号码前14位相同的大约有500人。根据三位的顺序码可以保证999个人编码不重复，至此学生明白了为什么身份证编码不会重复，也解决了学生提出的“身份证号需不需要加所在乡镇、街道、门牌号”的问题，编码的信息不是越多越好，选择合适的信息只要不重复就可以了。根据编码唯一性的特点，编写自己的学号时，学生不是盲目地把个人的信息全部加入编码，而是思考哪些信息是不会经常变化的，哪些信息是不会重复的。最后学生选定自己的入学年份、班级、座号，这三个要素就决定了自己学号的唯一性特点。这个过程的学习，学生可能忘记了每个数字编码代表的意义，但是记住了编码的唯一性，学习编码的意义得以凸显。

三、经历数学本质的内容重构

数学本质是指数学本身所固有的、决定学科性质、面貌和发展的根本属性。微观上，数学本质是指具体数学内容本真的意义，需要我们对数学内容进行深入挖掘，找到隐藏其中的数学本质，教师对数学本质的理解和把握决定了数学教学的成效。教师需要合理地设计教学内容，让学生从数学层面上来理解问题的本质，形成恰当的数学观。

（一）关注细节，深化数学本质

有的概念看似简单，但是“越是简单的往往越是本质的”。在教学内容的设计中，教师要关注概念的细节处理，深化學生对概念本质的理解。

例如，教学“长方体和正方体的认识”时，长方体和正方体的长、宽、高的意义非常重要，但是往往被忽略，教师常用“一个顶点引出的三条棱就是长方体的长、宽、高”一句话带过，长、宽、高对于长方体的重要性并没有体现。教学中，教师可以通过“搭”和“拆”这两个活动来帮助学生加强认知。第一层次是“搭”，让学生从15根小棒中选择12根搭一个长方体。有的学生选择搭3组，每组4根长度相等的小棒搭成一个长方体。有的学生搭出了一个面不是长方形的图形，怎么看都是歪的。经历“搭”的过程，学生能深刻理解长方体的长、宽、高。第二层次是“拆”，教师引导学生思考：如果拆掉一个小棒还能还原这个长方体吗？学生拆掉任意一根小棒，都能根据相对的其余三根小棒还原这根小棒的长度。教师接着追问：至少剩下几根小棒才能还原这个长方体的大小呢？有的学生说剩下4根，有的学生说剩下2根，有的学生说剩下8根……最后发现只要剩下长、宽、高3根，就能还原整个长方体的大小，至此，学生对长、宽、高决定了长方体的大小有了深刻的认知。

（二）关注问题，彰显数学本质

学生在学习过程中存在着很多困惑，这些困惑接近学生学习的最近发展区，教师要善于抓住学生的问题设计教学内容，促进学生的思考，帮助学生理解概念的本质。

例如，教学“分数的初步认识”时，学生对分数的理解有一定的难度，尤其是看到[12]这个分数时，有的学生提出：怎么会有这样的数？为什么下面写2，上面写1，能不能倒过来写？数中间怎么会有线？写的时候为什么要先写2，再写1？上面的1是表示1块饼吗？根据这些问题，我们对[12]这个分数认识的内容进行重构。我们把分饼的过程与分数的形成过程结合起来，先把分饼的过程用课件动态呈现，最后再从图形过渡到分数（如图1）。学生结合图形理解[12]：中间的线代表把饼平均分成两份;因为要先平均分2份，再从2份中取1份，所以先写2，再写1;上面的1表示一块饼平均分成2份中的1份;2写下面，1写上面也是根据分的过程，先平均分成2份写下面，再取1份写上面。结合分饼的过程理解分数，学生脑海里就有了[12]这个分数的直观表象，对[12]的理解更加深刻，后续学习[13]就水到渠成。教师依据学生的困惑点来设计教学内容，通过数形结合把数的理解作为突破口，就会收到意想不到的效果。

通过教学内容的重构，学生的思辨能力得到了提升，深化了数学学习的意义。

（作者单位：福建省福清市瑞亭小学）

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李衡，福建省福清市瑞亭小学校长，福建省特级教师，福建省学科带头人，福清市“李衡名师工作室”领衔名师。曾获得“福建省优秀青年教师”“福州市劳动模范”等荣誉称号，在省级以上期刊发表多篇教育教学论文，主持6个省、市级课题，均顺利结题，执教省、市级研讨课以及做讲座近百场。