从经验出发逐步提高思维水平

钱蔚

美国心理学家奥苏伯尔曾说过，影响学习的最重要因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，应就此进行教学。建构主义学习理论认为，学生并不是空着脑袋进教室的，在平时的生活和以往的学习中，学生必定积累并形成了一定的知识经验。在教学设计中，教师应充分尊重学生已有的认知经验和生活经验，着眼于新旧知识之间的联系，引导学生从已有经验出发实现对新知的主动建构，促进学生知识、能力、思维水平的提升。

对学生来讲，三角形不是新鲜事物。在一年级下学期已经直观认识了三角形，形成了有关三角形的图形表象。四年级下学期教师需引导学生在相对抽象的层面进一步认识三角形，探究三角形的基本特征，了解三角形底和高的含义，掌握三角形高的基本画法。学生通过对三角形的进一步认识，不仅能使原有的经验得到提升，而且能进一步学习和研究其他“图形与几何”的知识。那么，如何从学生的已有经验出发，引导他们在掌握知识的同时增强自主学习能力并发展数学思维呢？在教学苏教版数学教材四年级下册“认识三角形”时，我们开展了以下教学实践，并引发了教学思考。

一、提取经验，在活动中思维聚焦

教师利用课件出示教材例题情境图。

师：你们能在图中找到三角形吗？谁上来指一指？（用红线描出学生指出的三角形）

师：你们在生活中也见到过三角形吗？

师：你们很会观察！的确，生活中的很多物体中有三角形。看！（出示图片）你们能在这些图片中找到三角形吗？

（教师出示自行车、人字梯、金字塔等实物图片，学生指出抽象出的三角形）

师：你们能在纸上画出脑海中的三角形吗？

（教师选取学生画出的形状、大小不同的三角形）

师：这些图形形态各异，大小不一，为什么都叫作三角形？

生：它们都有3个角。

师：请你来指一指找到的3个角，其他同学也指出所画三角形的3个角。

师：从三角形的名称中我们就知道它们有3个角，除了“3个角”这个共同点，还有其他共同点吗？

生：三角形都有3条边。

（学生数一数）

师：我们找到了三角形的两个共同特点，还有什么共同点呢？

生：它们都有3个顶点。

（学生指出顶点）

师（小结）：通过刚才的观察、比较，我们发现三角形都有3条边、3个角、3个顶点，这就是三角形的特征，有时三角形也叫三边形。

【思考】认识三角形的概念之前，教师组织了三次活动：一是找，从情境图中找出三角形;二是说，说一说在生活中见到的三角形;三是看，从教师提供的实物图片中看到三角形。通过“精确地找”“形象地说”“直观地看”这三项学习活动帮助学生视域融合，提取生活经验和认知经验，有利于学生从已有的经验出发积极地开展探究活动。接着，教师安排了学生画三角形的活动，让学生头脑中的三角形表象得以外显，并抽象出三角形图形。“这些图形形态各异，大小不一，为什么都是三角形呢？”教师的及时追问，引导学生将思维聚焦于不同三角形的共同点上，在寻找共性的过程中逐步归纳出三角形的特征，深化学生对三角形的认识。

二、利用经验，在认“高”中思维突破

师：请同学们仔细观察这个三角形（多媒体显示三角形的一个顶点上移两次，如图1、图2），你们觉得这个三角形有怎样的变化？

生：我觉得这个三角形变大了。

生：我觉得这个三角形变高了。

师：要使这个三角形变得更高，可以怎么辦？

生：把一个顶点继续上移（多媒体显示）。

师：高在哪儿呢？高是指哪条线段？能来比画一下你们心目中的三角形的高吗？

师：这个同学认为高是从顶点开始到对边结束的这样一条线段，这里有3幅图（如图3），你们认为哪幅图的虚线是真正的高？

生：我觉得第2幅图中的虚线是三角形的高。

生：我也觉得是第2幅图。因为第1幅图中虚线没有与下面的边垂直，第3幅图中的虚线没有从顶点开始。

师：你们观察得真仔细，理由也非常充分！第2幅图中的虚线就是这个三角形的高。

师：那么什么是三角形的高呢？看着图与同桌交流。

（在学生交流的基础上，教师揭示三角形高的定义）

师：高是从哪儿到哪儿的一条怎样的线段？

（教师板书：高、顶点、对边、垂直线段）

师：你们能找到三角形的顶点和对边吗？

（学生在黑板上指出3个顶点和3条对边）

师（小结）：三角形有3个顶点、3条对边，三角形会有几条高呢？你们是怎么想的？

师：同学们，已知三角形的底在这儿（如图4，逐一出示不在水平方向的底），底边上的高在哪儿呢？请大家用直尺来摆一摆。

师：三角形的底和高是怎样的关系？

生：无论三角形的底在哪儿，底和高始终是互相垂直的。

【思考】教学中，教师要让学生用已有的知识经验来自我建构知识。对于生活中的“高”，学生是有感觉的，如学生所言：高是一条竖直的线段。教师利用学生的生活经验开展活动，让学生指出心目中的三角形的高。尽管此时学生对三角形“高”的认识是有经验的，但这只是认识“高”的基础。为了让学生的理论知识具象化，教师分别出示3幅图，让学生判断哪幅图展示的是三角形的高，并要求学生说明理由。此时，三角形高的要素“顶点、对边、垂直线段”逐渐在学生头脑中清晰起来，“顶点到对边的垂直线段”这句话是理解三角形的高的关键。教学中，教师让学生指出顶点和相应的对边，使学生感悟到三角形有3个顶点、3条相对应的底边;接着，教师更换三角形底边，让学生思考高的位置，并用三角尺比画出三角形的高，然后画出三角形的高。在这个教学环节中，教师给了学生思考的时间和思维转换的空间：三角形有3条高，高与底边始终是互相垂直的。从而让学生走出“高是竖着的”这一生活印象，建立“高是垂直的”数学表象。在“认高”的教学中，教师一方面关照了儿童经验，充分发掘出“知识原型”，引导学生经历“横向数学化”的过程，培养了学生的数学眼光，引导儿童经历“纵向数学化”的过程，使其认知得到修正，思维得到突破。

三、链接经验，在画“高”中思维进阶

师：你们会把指定底边上的高画出来吗？（如图5）你们准备用什么工具画？先动手试一试，然后我请小老师来示范。（学生尝试画高）

（学生示范，边画边说画高的方法）

师：对于画高，我感觉同学们很熟练，为什么呀？

生：画三角形的高的方法其实就是过直线外一点画已知直线的垂直线段的方法，我们以前学过。

师：是的，这个本领其实我们以前就会！看，（把三角形的两条边隐去，展示动画画高的过程）这不就成了以前画垂直线段吗？再请大家画出图6中每个三角形底边上的高。

（师生展示交流：重点交流直角三角形和钝角三角形的底和高）

师：如图7，这个三角形的底和高有什么特点呢？

生：这个三角形是直角三角形，底和高本来就是垂直的，所以这条底边上的高就是那条边。

生：这条底边上的高就是和它垂直的另一条边，如果底是那条边，高就是下面的一条边。

师：这两个同学的发现很有价值，也就是直角三角形中有两条边是互为底和高的。

师：它还有第三条高吗？谁来画一画？

师：这条高是哪个底边上的高？

师：这个三角形有几条高？这几条高有什么特点？

生：也应该有3条高，其中两条高正好和三角形的两条边重合。

师：确实，一个三角形的高有3条。图8中这个三角形的另外两条高在哪里呢？你们会用尺子来比画吗？

师（小结）：三角形都有3条高，有的三角形3条高都在里面，有的三角形两条边互为底和高，有的三角形有两条高在三角形的延长线上。

师：如果知道了底和高，这个三角形能画出来吗？它们长得一样吗？在图9中我们来画一画。

展示交流：有的学生画出一个符合条件的三角形，有的学生画出两个符合条件的三角形，根据学生的展示与交流，出示图10。

师：同学们画的这几个三角形都符合底是4厘米、高是2厘米的条件。我们是不是只能画出这几个符合条件的三角形呢？

生：我发现三角形的顶点不在格子的横线和竖线交叉点也是符合条件的。

师：很有想法！那三角形新的顶点只要在哪里就是符合条件的？

生：只要在一条直线上。

师：是啊，三角形的顶点只要在一条直线上，高都是2厘米，因为平行线之间的距离处处相等。

师：如果顶点跑外面去了，这样的三角形符合条件吗？（动画形成图11中的三角形）

生：可以的！

师：还有这边呢！（如图12）

师：符合条件的三角形可以画多少个？

生：无数个！

生：也可以这样画！（如图13、图14、图15）

师：这样符合条件的三角形的确可以画无数个，它们形状各不相同，但都是同底等高的三角形。

【思考】要讓学生理解数学知识，教师一定要充分链接学生已有的经验，经历改造、关联、应用的过程。会画三角形的高是本节课学生需要掌握的技能，也是教学难点。然而，画三角形的高，本质上是和“过直线外一点向已知直线画垂线”的方法是一致的。教学中，教师没有直接教学生画高的方法，而是通过布置任务：你们会画指定底边上的高吗？鼓励学生自行探索，总结画法。“对于画高，我感觉同学们很熟练，为什么呀？”教师有意提问，促使学生发现、联系：原来画高和过直线外一点画垂直线段的方法是一样的。教师通过动画的形式将三角形的另两条边隐去再画高，使学生深信：画高不是新的技能，而是原先经验的应用。在此基础上，教师精心设计了在不同三角形中画高以及画指定大小的三角形底和高的练习，尽管是经验的多次应用，但思维与技能层层递进，促使学生对三角形的高的认识可感、可视、可生长，促使学生知识和技能的逐步深化、思维的逐步进阶。

（作者单位：江苏省无锡市查桥实验小学）

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