活用教材，厘清数学核心概念

张义瑛

在概念教学中，教师要以典型、丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析，抽象概括出概念的本质属性，归纳得出数学概念。概念教学不能只是走过场，要给予学生充分概括数学概念的机会。数列概念的内涵很小，而其概念的外延很大，学生对数列概念掌握的难点在概念的外延上。

【教学重点、难点】

重点：数列及其有关概念，感受数列是刻画自然规律的数学模型及其广泛应用;理解数列通项公式的意义。

难点：会根据前几项写出它的一个通项公式，理解数列与函数的关系。

【教学目标】

1.理解数列通项公式的意义，对于比较简单的数列，会根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，培养观察、归纳能力。

2.通过实例体会序号与项之间的对应关系，理解数列是一种特殊函数，培养联想、类比学习能力，为下节课研究数列的函数特性做好铺垫。

3.培养数学抽象、逻辑推理能力。

【教学过程】

一、创设情境，理解概念

师：今天我们将进入新一章的学习，首先让我们从一段密码开始，这是电影《达·芬奇密码》中馆长索尼埃留下的密码提示（图略），这显然不是他最终要传递的信息。接下来，我们通过影片来看探长是如何破译密码的。

（教师播放《达·芬奇密码》电影探长破译密码片段）

师：电影《达·芬奇密码》中有这样一段情节：卢浮宫馆长索尼埃被杀时留下了一段密码和信息，你能从短片中看出探长破译后的明文和原来的密码之间有什么关联吗？

生：数字相同，顺序不同。

师：探长发现索尼埃留下的密码其实就是打乱了顺序的斐波拉契数列，从而得到启示，将英文字母重新进行组合找到了谜底。这个破译密码的过程又告诉我们什么呢？

生：它告诉我们，相同的数字按照不同顺序排列也会有不同的意义。

师：很好！这正是我们本节课要研究的主题：数列。

【设计意图】教师通过电影情节引入新课，激发学生的学习兴趣，让学生理解数列概念，辨析数列概念，同时结合课本封面出现的斐波拉契数列，引出本节课要研究的主题：数列。但更深层次的用意是让学生认识到，即使数字相同，但排列顺序不同，也会产生不同信息，这是我们研究数列的本质原因。

（教师出示数列的定义：按照一定次序排列着的一列数叫作数列）

师：请大家继续对比这两组数，斐波拉契数列是世界上著名的数列，你能观察出它的规律吗？

生：从第三项起，后一项是前两项的和。

师：那么索尼埃的密码有类似规律吗？索尼埃的密码是数列吗？

生：没有类似规律，索尼埃的密码是数列。

师：为什么索尼埃的密码是数列？

生：因为索尼埃的密码也是有顺序的。

师：这两个数列是同一个数列吗？

生：不是。

师：说明什么？

生：数列具有有序性。

【设计意图】概念教学的核心是：在学生最近发展区激发学生的认知冲突，让学生的思维和教材内容彼此碰撞，学生对所学内容产生强烈的兴趣和求知欲望。在教学中教师充分发挥引导作用，让学生进一步理解数列概念，将数列概念几个易混点解释清楚。

二、感受数列，构建概念

教师从不同领域给出教学情境，让学生充分感受数列的广泛存在。

1.拉面在对折过程中的根数：2，4，8，16，32，64，128，256，…

2.婚礼上的酒塔由顶层到底层的酒杯数：1，3，5，7，9。

3.“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”1 ， 1/2 ，1/4 ，1/8 ， 1/16 ， …

4.1988年到2016年中国奥运金牌数：5，16，16，28，32，51，38，26。

师：你还能举出我们日常生活中的数列吗？

......

师：请问数列1的通项是什么？

生：是[2n]。

师：你是如何得到的呢？

生：因为第一项可以写成[21]，第二项可以写成[22]，第三项可以写成[23]，所以第[n]项就是[2n]。

师：请问这里的指数[1，2，3，…，n]是数列的什么？

生：是数列的序号或者项数。

师：所以我们找数列的通项实质上是找什么？

生：数列的序号与数列项之间的对应关系。

师：如果数列[an]的第[n]项[an]与序号[n]之间的关系可以用一个式子表示成[an=fn]，那么這个式子就叫作这个数列的通项公式。

【设计意图】本教学环节中，教师从不同的领域让学生感受到数列在生活中大量存在，体会数列是刻画事物发生、发展规律的数学模型（有序性），教师运用几个实例引入数列相关概念，几个数列都有背景：数列1是等比数列，数列2是等差数列，两者都是递增数列。数列3是等比数列也是递减数列，数列4用来说明不是所有的数列都有通项公式。学生通过实例抽象概括数列相关概念，培养了数学抽象、逻辑推理能力。学生切身体会数列的项与序号之间的对应关系，写出一些简单数列的通项公式，为突破本节课的难点做准备。

三、辨析概念，学以致用

教师出示1988年到2016年中国奥运金牌数：5，16，16，28，32，51，38，26。

师：你能根据这些金牌数，得出下届奥运会中国获得的金牌数吗？为什么？

生：不能，因为该数列没有规律，所以不能写出该数列的通项公式。

师：有了通项公式，只要依次用[1，2，3，…]代替公式中的[n]，就可以求出这个数列的各项，也就是说每个序号都对应着一个数（项），我们把例1换种形式写出来。

师：大家通过该数列序号与项的这种对应关系联想到什么？

生：映射。

师：很好，再观察序号与项这种数与数的对应关系，我们会进一步联想到什么？

生：函数。

师：从函数的观点看，发现了什么？

生：数列项是序号的函数。

师：数列也是函数，请问这个函数的定义域是什么？

生：正整数集[N+]。

师：数列可以看成以正整数集[N+]为定义域的函数，当自变量从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值就是这个数列。

师：这个函数的解析式是什么？

生：数列的通项公式就是该函数的解析式。

师：数列也是函数，那和我们学过的一些基本函数有什么区别吗？

生：数列的定义域为正整数集[N+]。

师：所以数列的图像是什么？

生：是一群孤立的点。

……

【设计意图】本教学环节中，教师运用实例说明通项公式的作用：已知通项公式可以求出数列中的任意项。教师通过求数列中的项，让学生领会序号与项之间的对应关系，由对应关系联想到所学的函数。学生通过类比分析，找到数列与函数之间的关系：数列是特殊的函数。教学中，教师注重知识的生成过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【教学反思】

一、活用教材，创设合适的教学情境是帮助学生理解概念的关键

教学的关键在于教师依据教材，理解教材的意图，把握数学概念本质，进而创造性地使用教材。在教学中，教师关注知识的整体构架，挖掘日常生活素材，在数学抽象的过程中落实数学素养。

首先，挖掘生活中的数列（拉面在制作过程中的根数）、文化中的数列（一尺之棰，日取其半，万世不竭）、体育中的数列（中国奥运健儿从1988年奥运会到2016年奥运会所获得的金牌数），这些数列均能刻画客观事物的发生发展过程（有序性），把现实生活中的一些数量与图形有关的东西引入数学教学，这就是第一次“感性抽象”，抽象出数列的有序性。

其次，围绕主题“如何用函数刻画数列的有序性”，做如下处理：根据[an=nn+2]的通项公式，分别写出数列的前5项。在写出数列前5项的过程中，学生概括出数列是自然数集到实数集的映射，进而抽象出数列可以看成以正整数集或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数，当自变量按从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值就是这个数列（从数学的角度刻画了数列的有序性），这就是第二次“符号抽象”，用抽象的数学符号刻画数列，其特征是符号表达，这样有利于学生深刻理解数列概念。

二、设计课例“明暗结合”，遵循概念学习的规律

我們根据两条线索设计这节课。一条是数列及其相关概念、数列与函数的关系这一知识技能的“明线”，一条是从典型事例中抽象出新的数学概念的“暗线”。

数列概念的获得应该符合学生的认知规律，让学生在教学情境中认识到研究数列及其相关概念的必要性，在探究过程中，归纳概括出数列的特征、性质，培养学生的数学核心素养。教师遵循概念教学的规律，设计了“感知概念—形成概念—辨析概念—应用概念”的教学过程。课例从引入斐波那契数列开始，到鼓励学生课外探究斐波那契数列的通项公式结束，整个教学过程浸润数学文化，渗透数学思想，达到了提升学生数学核心素养的目的。

（作者单位：江西省九江市第一中学）