信息技术在地球运动试题解析中的应用——以“杆影轨迹”为例

钟 华，汪为青，张文军，钟文芳

（1.浙江省春晖中学，浙江 绍兴 312300；2.江西省景德镇一中，江西 景德镇 333000；3.佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯 154007）

一、问题的产生

在地球运动一轮复习时，笔者搜集了一些例题用于课堂教学，如例1所示。

例1.图1是某观测者在当地夏至日时，根据观测到竖直标杆日影绘制的示意图。请据此完成问题。

（1）图中表示正午的日影是

A.① B.② C.③ D.④

（2）观测地的纬度最有可能是

A.20°N B.40°N C.20°S D.10°S

参考答案：（1）C（2）B

课堂中学生甲（后简称甲生）提出一系列疑问，如一天内的杆影是否都呈双峰M形？不同纬度、不同日期又会有怎样的变化？由于课堂讨论时间有限，故与其约定课后再继续探讨。

二、杆影轨迹方程

杆影是指垂直于水平地面的直杆在太阳光照射下的影子，该影子首端连着杆脚，杆顶的影子为杆影末端（图2），一天内杆影末端在地面划过的路线为杆影轨迹。显然，杆影的方位与太阳方位相反，杆影的长短取决于杆高和太阳高度角。一天内太阳方位与高度在不断变化，杆影也随之变化。那么，杆影轨迹是什么曲线形态？有无规律可循？

带着这个问题，甲生与笔者分别行动，查找相关著作和论文，发现有相关地理教学论文描述过杆影轨迹［1-2］，但并不精确且存在一定主观性。继而又发现《中学数学月刊》刊登的《探究日影运动轨迹》一文中有详尽的数学分析，但并未绘制相关图像。文中的杆影轨迹方程为：x2sin2δ－y2cos（φ＋δ）cos（φ－δ）＋hysin2φ－h2sin（φ＋δ）sin（φ－δ）＝0，其中φ和δ分别表示当地纬度、太阳直射点纬度，北纬为正，南纬为负，h表示杆高［3］。

三、杆影轨迹绘制

根据上述方程，绘制直角坐标系中的轨迹曲线，“几何画板”“GeoGebra”和“Desmos”等软件均可完成。因甲生软件操作能力较强，笔者决定安排其完成网页编程。甲生采用可视化效果较好的Desmos网页进行编程与绘制，将杆高统一输入为1，通过互动面板调节太阳直射点纬度与演示地点的地理纬度可得到全球任意纬度在任意日期的杆影轨迹。将甲生开发的演示网页用于课堂教学，以解答上次课堂教学中遗留的困惑，经过形象直观的图形演示，学生对直立杆影的轨迹有了全面深入的认识。下面以六个不同纬度讨论杆影轨迹形态。

1.赤道

春秋分日，赤道上的杆影轨迹为一条经过杆脚（原点）的东西向直线，与x轴重合（图3），因为太阳正东升，太阳视运动轨迹垂直于地平面，故整个上午太阳均在正东方向，影子在正西方向，正午太阳在天顶无杆影，下午太阳位于正西，杆影则在正东。值得一提的是，除极点外，全球任意纬度的春秋分杆影轨迹均为一条东西向直线，北半球该线位于杆脚以北，南半球则为以南，纬度越高则直线离杆脚越远。

非春秋分日，赤道上的杆影轨迹为双曲线。春分至秋分，太阳直射点位于北半球，赤道上观察太阳位于偏北方，故杆影轨迹位于杆脚的南侧，开口朝南。秋分至次年春分，杆影位于杆脚北侧，开口朝北。日期越接近春秋分则双曲线的曲率越小，日期越接近二至日则曲率越大。二至日曲率最大，且离杆脚最远，假设杆高为1（下同），则正午杆影末端坐标为（0，±0.435）。

2.回归线之间（含回归线）

以15°S为例，除春秋分外杆影轨迹为双曲线（图4）。春分至秋分，开口朝南；秋分至次年春分，开口朝北，其中太阳直射15°S时，杆影轨迹过原点（即杆脚）。北回归线上，夏至日轨迹过原点（图5）。

3.回归线至极昼区边界

以45°N为例，除春秋分外杆影轨迹为双曲线（图6），曲率比低纬地区有所加大。春分至秋分，开口朝南，夏至轨迹与x和y轴的交点分别为（±1.464，0）、（0，0.394）；秋分至次年春分，开口朝北，冬至轨迹与y轴交点为（0，2.539）。在春秋分，轨迹为直线，该直线距x轴为1个单位，因为正午影长与杆高相等。显然春秋分轨迹并不是两至日轨迹的对称轴。

4.极昼区边界

以南极圈为例，冬至日该地恰好出现极昼，轨迹为开口向北的抛物线（图7）。值得一提的是，凡是极昼区与非极昼区分界纬线上（即刚出现极昼的纬线），其轨迹为抛物线，而并非椭圆。南极圈其他日期为双曲线或直线。

5.极昼区（除极点）

以75°N为例，极昼期间轨迹为椭圆，24小时均有杆影，正午与子夜太阳高度分别为最大和最小，杆影分别为最短和最长。椭圆长轴位于南北方向，短轴位于东西方向，原点位于椭圆的焦点，越靠近极昼区的边缘，则椭圆的偏心率越大（图8）。

6.极点

春秋分日，太阳在地平线上，理论上杆影无限长，杆影轨迹无法表达。极昼期间，极点的杆影轨迹为正圆（图9），圆心为杆脚，因为太阳平行于地平面，一天内太阳高度不变。越趋向夏至（或冬至日），圆的半径越小；越趋向春秋分，则圆半径趋向无穷大。

关于轨迹图像的正确性，可选择特定纬度、特定日期加以验证，如北回归线夏至日正午无杆影，在图5轨迹中则表现为过原点，两者相符。再如，45°N在春分时正午杆影长度与杆高相同，图6所表示的情况符合。又如，秋分日轨迹为直线，与崔亚飞的校园实测［4］相符。验证表明本轨迹方程所绘制的轨迹图像是正确且科学的。

通过对不同纬度的杆影轨迹绘制与分析，笔者发现以下规律：①杆影轨迹共有双曲线、直线、抛物线、椭圆和圆5种线条类型。直线是春秋分日的特有形态，全球（除两极）皆为直线。抛物线是刚出现极昼地区（如太阳直射10°N那天，80°N地区）的特有形态。椭圆是高纬地区在极昼时期的特有形态。圆是北极点和南极点的特有形态。双曲线是全球各地的普遍形态，太阳直射点在北半球时则双曲线开口朝南，反之则朝北。②杆影轨迹总是关于当地子午线对称，因为太阳方位和高度关于正午对称。③双曲线的曲率在趋近春秋分时最小，在趋近两至日时最大。④若两日期关于夏至（或冬至）对称，则杆影轨迹相同。⑤若两日期关于秋分（或秋分）对称，则两条开口相反的双曲线相互轴对称。⑥非极昼区，相同纬度而不同半球的两地，每天的杆影轨迹形态相同，区别在于轨迹的坐标位置不同。⑦杆影的移动方向为自西向东，北半球极昼区为顺时针，南半球极昼区为逆时针。

四、杆影轨迹纠错

1.M形轨迹

例1中的图1存在明显的杆影轨迹错误，错在“M形的轨迹形状”，根据前述方程绘制曲线可知，全球任意纬度在任意日期内的杆影轨迹均不可能为M形曲线，即正午前后无影长的极值（图像上表现为两个凸起的小高峰），只有在正午才出现影长的最小值。类似的轨迹错误还有“W形曲线”。这两种错误轨迹在当前广泛使用的各类地图册中也常出现，应修正为正午附近轨迹无凹陷的双曲线轨迹。

2.双曲线开口朝向

例2.图10为某地二分二至日旗杆顶端日影轨迹变化图，请读图完成问题。

（3）该地纬度位置可能为

A.20°N B.40°N

C.40°S D.60°S

（4）若在同一天中，该地与杭州（30°N）的正午太阳高度的差值为ΔH（取绝对值），则太阳直射点由节气①向节气③移动的过程中，ΔH的变化为

A.先增大后减小 B.先增大后不变

C.先不变后增大 D.持续不断增大

参考答案：（3）A（4）B

例2的图10中存在两个错误，其一为③曲线开口朝南，此曲线表示冬至日杆影轨迹，应为开口朝北的双曲线（与图4类似），此类错误在多处高考模拟题、专题练习题中存在。其二为②曲线形态错误，应改为直线。

3.春秋分杆影轨迹

例3.我国某中学组织学生对直立物日影变化进行观测，具体做法是：先在一块平坦的地面上直立一根标杆，再以此杆直立点（甲）为圆心，以杆长为半径绘一个半圆。图11为某日杆影变化图，图中阴影部分为标杆影子范围。请据此完成问题。

（5）甲地位于

A.东北平原 B.华北平原

C.四川盆地 D.珠江三角洲

参考答案：（5）A

上题通过影子的范围得到太阳正东升、正西落的信息，即该日为春分日或秋分日，太阳直射赤道。再通过正午杆影长与杆高相等，得到正午太阳高度角为45°，又位于我国境内，则当地纬度为45°N，答案为A（东北平原）。从答题逻辑方面看，此题问题不大。但作为高考题，应尽可能保证科学性和严谨性。此题图（图11）的瑕疵在于杆影轨迹为弧线，如上述所言，春秋分全球（除两极）的杆影应为一条东西方向的直线。此结论不仅有数学理论［3］与SketchUp软件（图12）、3D Sun-Path网页［5］等高精准度模拟结果支撑，还有实践测量活动［4］的强力支撑。

用SketchUp软件对图11进行三维建模，模拟2022年春分日6个不同时刻的杆影，进行图像叠加后得到图12，该图显示45°N春秋分杆影已超出图11所绘制的杆影范围，且杆影末端恰好位于平行于x轴、与半圆相切的直线上，支持本文结论。笔者曾于2021年9月23日（秋分）在校园进行杆影观测活动，在拍照记录中，能明显观察并测量出秋分日杆影轨迹呈一条直线分布（图13）。

4.其他易错点

①杆影轨迹是太阳光对杆顶的地面投影集合，应与太阳视运动轨迹的地面投影相区分，两者有一定联系，但形态上有很大区别。②日出日落的瞬间，杆影无限长，在图中无法表达，因此只能绘制日出后、日落前的杆影。③每日杆影覆盖范围应为从杆脚到杆影轨迹之间，而非杆影轨迹之外。④杆影移动角速度并非15°/小时，因为太阳方位角的变化速度是不均匀的，日出日落时方位角变化慢，正午附近变化快，速度差异大。

五、总结与建议

地球运动是近年来各省高考卷的热门考点，2021年高考卷中，涉及地球运动的试题有河北卷、山东卷和浙江卷，这三份高考卷均以杆影作为考点信息材料。杆影的方位、长短及其日变化是太阳视运动的表现，普通高中地理教材对杆影轨迹形态、位置并无相关论述，但各种模拟题、教辅资料、地图册乃至高考题中都常有涉及。因缺少标准，诸多试题和资料书籍对杆影轨迹绘制时存在主观随意性，导致不少错误绘图，与科学事实相悖，不利于地理教学。因此，厘清全球各纬度杆影轨迹的形态与变化显得尤为必要。

本文通过科学的数学方程，用软件模拟了精确的杆影轨迹，并加以分纬度分析，总结了杆影及其轨迹的分布变化规律，指出了常见杆影轨迹错误并纠正，可作为日常教学参考。

“纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行”，建议地理教师在教学过程中积极设计杆影观察与测量活动，培养学生从实践中发现和解决问题，寻求工具，寻找规律，最后形成属于自己的经验性知识，教师参与过程引导，并给予结果评价。建议命题人在命制杆影类试题时尽量保证科学性与严谨性，可参考相关网页［6］辅助命题。