例谈提升高中生数学思维能力之门径

金花

【摘 要】 让学生亲身经历数学知识的发生发展过程，不仅有利于揭示数学的本质，完善对数学概念、方法、思想的理解，而且让学生的自主性、独立性、能动性和创造性得到真正的体现。本文作者抛砖引玉，值得大家予以适度关注。

【关键词】 思维；发散；灵活；探究；创新

高中数学新课标强调：教师在课堂教学过程中一定要注重揭示获取知识和运用知识的思维过程，使学生在态度情感、思维能力和价值观等方面得到协调发展。但是，部分教师没有真正走出传统教学模式的误区，用自身的思维代替学生思维活动，热衷于高题海战术，一定程度上影响了学生的学习积极性和创造性。笔者认为，教师在教学的设计和实施过程中，应充分发挥学生的主体作用，密切关注学生数学思维过程。

一、坚持以生为本，激发学生思维的积极性

在数学课堂上，教师面对学生脑海里产生的各种疑虑，应及时捕捉其背后的生成资源，耐心地解释学生的疑问、探讨学生的异见、纠正学生的错误，这远比多讲几个题目效果好。

【教学案例1】已知点F是抛物线y■=2px，（p>0）的焦点，直线AB交抛物线于A，B两点，试问：弦AB何时最短？最小值是多少？

问题刚刚出示完毕，生1不假思索抢答：当直线AB垂直x轴时，弦AB最短，最小值是2p。师：为什么？生1：我是由椭圆里的结论瞎猜的。师：你的猜想是由椭圆里有关结论类比得出的，所以不算“瞎”猜，学好数学太需要这种直观思维了！但仅有直观还不够，大家一起动手给出严谨的数学证明。

看到同学们跃跃欲试的眼神，作为教师不忍心抛出答案。事实证明学生的思维十分积极，思路开阔，解法之多出乎意料。

生2：设A（x■，y■）B（x■，y■），设直线AB方程为：x=ty+p，与抛物线方程y■=2px联立得，y■=2pty-p■=0，由韋达定理得，AB=y■-y■=■=■=2p■。所以当t=0，即直线AB垂直x轴时，弦AB最短，最小值是2p。

生3：设A（x■，y■）B（x■，y■），当直线AB垂直x轴时，弦AB长为2p。当直线AB不垂直x轴时，设其方程为：y=k（x-■），k≠0，与抛物线方程y■=2px联立得，k■x■-（k■p+2p）x+■=0，由韦达定理得，AB=x■+x■+p=2p+■>2p，所以当直线AB垂直x轴时，弦AB最短，最小值是2p。

师：以上种解法都非常精彩，你认为哪种解法最简便，并说说其中的理由。

生4：解法1比解法2简便，因为解法1对直线AB的设法，不需讨论直线斜率是否存在，解法3实质上是解法2的几何解释。所以，我认为解法3最简便。

可见，教师只有放手让学生积极进行思考，运用所学习和掌握的知识，才能不拘泥、不守旧，勇于打破条条框框的限定，探寻到各种解题方法。即使发现学生错误的解题思路，教师也要善于发现其中问题症结所在，及时纠错；对学生不成熟的想法，仍然要予以肯定，并加以引导、改进，从而进一步激发学生的探究热情。

二、问题串发多变，锻炼学生思维的发散性、灵活性

针对一些典型例题，教师应在课堂上通过变换题目的结论、条件和问题的形式，有的放矢地地引导学生从变化的问题中发现其不变的本质和规律，从而锻炼了学生的发散思维意识，帮助学生掌握灵活机动地思考解决问题的有效方法，并在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。

【教学案例2】已知函数f（x）=x■-■x■+4，g（x）=ax■+4（a>0），对∨x∈[1，2]恒有f（x）>g（x），求实数a的取值范围。

评注：教师通过耐心的引导，让学生逐步理解参数与变量分离后转化为求函数最值问题。

变式1：若 x∈[1，2]恒有f（x）>g（x），求实数a的取值范围。

评注：变式1的存在性问题与上述恒成立问题都可以采用参变分离法，转化为函数最值问题，但两者又有区别，通过变式引领学生识别这一易于混淆之处。

变式2：对∨x■∈[1，2]，∨x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立，求实数a的取值范围。

评注：变换已知条件设计系列问题，问题之间由易到难、拾级而上、层次明显，目的是培养学生灵活思维，通过转化统一成函数最值问题。

变式3：请学生在下列空格内填上∨或 符号，编制题目，同桌之间交换解答，对_____x■∈[1，2]，对_____∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立，求实数a的取值范围。

课堂上对于变式3，学生编制了以下几种形式的问题并给出相应的解答：①∨x■∈[1，2]， x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立；②对 x■∈[1，2]，∨x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立；③对 x■∈[1，2]， x■∈[1，2]，f（x■）>g（x■）恒成立。

评注：变式3与2的计算可以相互借用，避免了大量的重复性操作运算，为教学节约了时间，让学生编拟题目给其他的同学解答，把课堂气氛推进高潮，场面十分热烈，效果比较理想；通过例题和变式的系列问题，使学生充分理解和掌握了不等式恒成立和有解问题的规律，不断加深了对问题本质的认识，成功亏，拓宽了学生的创新思维空间。

三、引领自主探究，培养学生思维的创新性

当学生产生探索欲望时，教师应及时引导学生去思考、交流，让学生在自主探究中掌握知识，体会数学思想和方法，形成学生内在的学习动机、批判的思维品质和思考问题的习惯，在自主与创新中形成发展性、创造性的思维品质。endprint