用三种方法探究反正切与反余切的关系

赵维

【摘 要】反正切函数arctanx和反余切函数arc cotx在高等数学中微积分这部分内容中应用甚广。由于对不定积分∫f（x）dx=F（x）+C中常数C的错误理解，得出arctan x与arc con x互为相反数的错误结论，由此引发对arctan x与arc cot x之间关系的探讨。文章从arctan x与arc cot x的定义和拉格朗日中值定理两个方面出发证明得到arctan x与arc cot x=的正确关系，再重新理解不定积分的定义与性质，分析出现错误的原因，加深了对不定积分的理解。

【关键词】arctan x；arccot x；高等数学；不定积分

1.研究的背景、目的

本文是在高等数学上册（同济版第六版）不定积分章节的课后习题里产生的疑问，通过翻阅资料，解决了疑问。希望通过对反正切与反余切关系的探讨，能深刻地理解微积分的相关知识，培养善于思考、提出疑问、解决问题的能力。

2反正切arctanx与反余切arccotx

2.1反函数及其导数

y=tanx的反函数=>y=arctanx（x∈（-∞，+∞），y∈（- ， ））

y=cotx的反函数=>y=arccotx（x∈（-∞，+∞），y∈（0，π））

（arctanx）'= ，（arctanx）'=-

2.2不定积分

2.2.1原函数与不定积分的概念

定义1如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x），即对任一x∈I，都有F（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I上的原函数。

定义2在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的不定积分，记作 ∫f（x）dx。

对两个定义有两点说明：

第一，如果f（x）在区间I上有原函数F（x），使对任一一x∈I，都有F'（x）=f（x）那么对任何常数C，也有[F（x）+c]'=f（x），即函数F（x）+C也是f（x）的原函数。

第二，如果在区间I上F（x）是f（x）的一个原函数，那么f（x）的其他原函数与F（x）之间仅相差一个常数。

2.2.2基本积分表

（1）∫ dx=arc tanx+C，（2）∫- dx=arc cot x+C

2.3arctan x与arc cot x的关系

高等数学 第六版（上册），此教材里习题4-1中的2.（25）：求不定积分∫ dx

方法一：原式∫（1- ）dx=x-arctan+C

方法二：原式∫（1+ ）=x-arccot+C

根据不定积分的定义知道，两种解法都正确。由等式的性质知x-arctanx+C=x+arccotx+C，即arctanX+arccotX=0......（2）

这个结论正确吗？下面用三种方法来探究两者间的关系：

（1）从arc tan x和arc cot x的定义去探究

设α=arctanx∈（- ， ），β=arccotx∈（0，π）则x=tanα=cotβ tanα=tan（ -β） α= -β α+β= ，

即arctanx+arc cot x= ......（3）

（2）用拉格朗日中值定理来探究

令f（x）=arctanx+arccotx（x∈（-∞，+∞））则f'（x）= +（- ）=0

设x0

由此两种方法结论为arctanx+arccotx= ，结论arctanx+arccotx= 究竟错在何处？

方法三：（定积分的定义）着重理解定积分中的常数C。

上述法一：∫ dx=x-arctanx+C1，法二：∫ =x+arccotx+C2（C1、C2为任意不同常数）

根据f（x）的其他原函数与F（x）之间仅相差一个常数知：x+arccotx+C2-（x-arctanx+C1）=arccotx+arctanx+C2-C1=C0（C0为常数）则有arctanx+arccotx=C0+C1-C2，则arctanx+arccotx等于常數（C0+C1-C2），该常数为上述证明得到的 。

3.结论

通过以上的探究得到arctanx+arccotx= 。这个结论的获得启示学习者要多思考，多探究，多反思，培养善于发现、敢于提问、勇于探索解决问题的精神和能力。

【参考文献】

[1]同济大学数学院.高等数学，第六版上册[M].北京：高等教育版社，2007.4

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修1，人民教育出版社A版