行星运动研究及引力公式推导时涉及的若干问题

王兴臣

【摘 要】本文讨论了开普勒定律及引力公式教学中涉及的参考系问题、质点模型问题，结合天文观测资料探究了行星运动匀速圆周运动模型的建立；并讨论了推导行星对太阳的引力关系时涉及的一个哲学问题，以期对突破教学难点有所帮助。

【关键词】参考系；质点；圆周运动；模型；难点突破

如果说普朗克的量子理论及稍后建立的量子力学提供了人类通向微观世界的金钥匙的话，那么开普勒行星运动三定律以及牛顿的万有引力定律无疑是将人类的认识视角由地球引向了广袤无垠的浩瀚星空！对太阳系的认识探索是现代人类走向宇宙的基础，可见开普勒定律及万有引力定律在高中物理教学中的重要地位。新课标人教版高中物理必修2第六章“曲线运动和万有引力”一章给学生提供了体验人类认识宇宙的机会，同时也搭建了学生历练探究本领的平台。本文就该章节中涉及到的几个典型问题讨论如下。

1.关于开普勒行星运动三定律所涉及的参考系问题。研究机械运动离不开参考系的选取。在开普勒提出行星运动三定律以后，“地心说”已逐步淡出历史舞台，而哥白尼的“日心说”则逐渐被人们广泛接受。从天文尺度看，太阳系相对于近邻恒星运动速度是很小的，这样在研究太阳系时，人们自然地接受了太阳中心作为参照物。确切地说是选择了“日心—恒星”参考系—在这个参考系中，认为太阳静止不动，行星围绕太阳中心做椭圆轨道运动。

2.关于质点模型的建立。下面是太阳系八大行星资料数据表。在2006年8月24日于布拉格举行的第26届国际天文年会通过了第5号决议：冥王星被降等为矮行星，从太阳系九大行星序列中被除名。

对照资料图可知，太阳与行星间的距离是行星尺寸（直径）的倍数在5440～90930之间；而太阳与行星间的距离是太阳尺寸的倍数则在41～3217之间。结合天体质量分布的球对称性，我们有理由将太阳跟行星都视作质点。

3.圆周运动模型的建立。开普勒三定律揭示了太阳系的行星绕太阳做椭圆轨道运动，也符合天文观测实际。问题在于，高一学生并不具备研究椭圆运动的数学和物理基础。因而有必要对椭圆轨道进行简化，以利于学生进一步学习。那么将椭圆轨道简化为圆轨道可行吗？我们来考查太阳系八大行星椭圆轨道的偏心率数据。

可见，除了水星之外，其它七大行星椭圆轨道偏心率都非常接近于零。而偏心率越小意味着轨道越接近于圆形，因此可以将行星运行的椭圆轨道近似为圆形轨道。至于水星，其轨道偏心率较大，与圆形相去较远。这是由于水星距太阳太近，受到强引力的缘故，严格来讲其运动应该受广义相对论理论的规范。这也意味着高中学习阶段涉及的通常都是弱引力作用，如同其它七大行星那样。初学时，作为近似仍将水星轨道视为圆形。

那么能将行星的圆周运动进一步简化成匀速圆周运动吗？这一点利用开普勒第二定律不难做到。根据开普勒第二定律，太阳与行星连线在相等时间内扫过的面积相等。在将行星运行轨道视为圆形时，实际上就可理解为太阳与行星的连线在相等时间内扫过相等的圆弧长度，因而行星的圆周运动自然就可以视作“匀速圆周运动”了。

经过上述系列简化，就将行星的运动转化为学生容易入手的匀速圆周运动了。

4.关于推导“太阳与行星间引力公式”时涉及的一个教学难点

开普勒行星运动三定律只是从运动学角度诠释了行星运动的规律，行星为什么只能按照开普勒三个定律所描述的椭圆轨道方式运动，而不是按照别的什么方式运动。也就是说，开普勒定律并没有揭示行星运动的动力学根源。牛顿集前人研究之大成，指出了行星运动的动力学根源：在于太阳与行星之间的源自于质量的引力作用，從而建立了引力定律。

在推导“太阳对行星的引力关系”时，基于前述简化而来的匀速圆周运动模型，利用周期形式的向心力公式、结合开普勒第三定律，容易得到太阳对行星的引力与行星质量成正比、与行星到太阳距离的二次方成反比。而在推导“行星对太阳的引力”关系时，通常都采用类比方法：基于牛顿第三定律，通过类比得到行星对太阳的引力与太阳质量成正比、与太阳到行星距离的二次方成反比。

上述推导方法看起来顺理成章，但也回避了一个教学难点。因为许多学生会提出另外一种不同的类比方法来推导“行星对太阳的引力”关系：以太阳作为受力天体，假设使太阳绕使力行星做匀速圆周运动，岂不是也可以得出“行星对太阳的引力与太阳质量成正比、与太阳到行星距离的二次方成反比”的结论吗？

其实这里涉及到了一个带有思辨性的物理问题，也可以说是一个重要的哲学问题。若假设让太阳绕行星做圆周运动，就会导致“地心说”的复活，从而颠覆“日心说”，导致错误的宇宙观！因而学生的上述推导思路在逻辑上是不可想象的，这一点应该在教学中间大胆地指出来，以帮助学生正确世界观的建立。这也是“情感态度价值观”教学目标的要求！

以上是笔者结合教学实践得出的些许体会，在此提出，以期共勉。

【参考文献】

[1]程守洙，江之永主编.普通物理学（第五版）1，高等教育出版社，1998.06